Fiche de révision · Maths 6eDivision euclidienne, division décimale et durées
1er trimestre · chapitre 4 sur 14
Diviser, c'est chercher combien de fois un nombre est contenu dans un autre ou la valeur d'une part.
L'essentiel à retenir
- a = b × q + r avec r < b.
- Reste nul : a est un multiple de b.
- Divisible par 2 : finit par 0, 2, 4, 6, 8 ; par 5 : par 0 ou 5 ; par 10 : par 0.
- 1 j = 24 h ; 1 h = 60 min ; 1 min = 60 s.
- 0,5 h = 30 min.
La leçon
1. La division euclidienne
Diviser un entier par un autre, c'est chercher un quotient entier et un reste. Le nombre que l'on divise est le dividende, celui par lequel on divise est le diviseur. Le quotient est le nombre de fois que le diviseur est contenu dans le dividende.
Exemple
Division euclidienne de 187 par 12 : 187 est le dividende, 12 le diviseur, 15 le quotient et 7 le reste.
2. L'égalité de la division euclidienne
On écrit le résultat sous la forme a = b × q + r. Le reste est toujours strictement plus petit que le diviseur. Pour vérifier, on calcule b × q + r et on contrôle que r < b.
a = b × q + r avec r < b
Exemple
12 × 15 + 7 = 180 + 7 = 187 et 7 < 12 : c'est juste. En revanche, 187 = 12 × 14 + 19 n'est pas la division euclidienne de 187 par 12, car 19 > 12.
3. Multiples, diviseurs et critères de divisibilité
Si le reste est 0, a est un multiple de b et b est un diviseur de a. Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 ; par 5 s'il finit par 0 ou 5 ; par 10 s'il finit par 0.
Exemple
84 = 7 × 12 : 84 est un multiple de 7 et 7 est un diviseur de 84. 135 est divisible par 5 mais pas par 2 ni par 10.
4. La division décimale
Quand il reste quelque chose, on peut continuer la division après la virgule en ajoutant des zéros au dividende. Pour un décimal divisé par un entier, on place la virgule au quotient dès qu'on abaisse le chiffre des dixièmes. Certaines divisions ne s'arrêtent pas : on donne alors une valeur arrondie.
Exemple
7 ÷ 4 = 1,75 ; 15,6 ÷ 3 = 5,2 ; 10 ÷ 3 = 3,333… ≈ 3,33 au centième.
5. Partage ou groupement
La division-partage donne la valeur d'une part. La division-groupement donne le nombre de parts. La réponse dépend de la question : il faut parfois arrondir le quotient au-dessus.
Exemple
Partage : 24 € entre 4 amis, 24 ÷ 4 = 6 € chacun. Groupement : 50 = 6 × 8 + 2, donc 50 œufs remplissent 8 boîtes de 6 et il en reste 2. Mais pour 50 personnes dans des voitures de 4 places, 50 = 4 × 12 + 2, il faut 13 voitures.
6. Durées et horaires
Les heures, les minutes et les secondes vont par paquets de 60 : 1 h = 60 min = 3 600 s ; et 1 jour = 24 h. Une demi-heure vaut 30 min, un quart d'heure 15 min, trois quarts d'heure 45 min. Une année compte 365 jours, ou 366 si elle est bissextile ; un siècle = 100 ans, un millénaire = 1 000 ans. Pour convertir des minutes en heures, on fait une division euclidienne par 60.
200 min = 3 h 20 min
Exemple
Un film commence à 20 h 45 et dure 1 h 50 min : 20 h 45 + 15 min = 21 h, puis 21 h + 1 h 35 min = 22 h 35.
La méthode
Comment calculer l'heure de fin
- Ajoute d'abord les minutes qui manquent pour arriver à l'heure pile : 20 h 45 + 15 min = 21 h.
- Retire ces minutes de la durée : 1 h 50 min − 15 min = 1 h 35 min.
- Ajoute ce qui reste de la durée : 21 h + 1 h 35 min = 22 h 35.
- Vérifie que les minutes du résultat ne dépassent pas 59.
Pièges à éviter
- 1,5 h ne fait pas 1 h 50 min mais 1 h 30 min, car 0,5 h = la moitié de 60 min = 30 min.
- Le reste doit être plus petit que le diviseur : si tu trouves un reste trop grand, augmente le quotient.
- Relis la question avant de donner le quotient : pour 50 personnes dans des voitures de 4 places, il faut 13 voitures, pas 12.
Vocabulaire
- Dividende
- Nombre que l'on divise.
- Diviseur
- Nombre par lequel on divise ; si le reste est 0, c'est un diviseur du dividende.
- Quotient
- Résultat de la division, nombre de fois que le diviseur est contenu.
- Reste
- Ce qui reste, toujours plus petit que le diviseur.
- Multiple
- Un multiple de b est un nombre obtenu en multipliant b par un entier.
- Durée
- Temps écoulé entre deux instants.
Teste-toi
3 questions pour vérifier, corrigées tout de suite.
Flashcards
Essaie de répondre avant d'ouvrir la carte.
Quelle égalité traduit la division euclidienne de a par b ?
a = b × q + r, avec un reste r plus petit que b.
Dans la division euclidienne de 187 par 12, on écrit 187 = 12 × 15 + 7. Quel est le quotient ? le reste ?
Le quotient est 15 et le reste est 7.
Quand dit-on que 84 est un multiple de 7 ?
Quand la division de 84 par 7 tombe juste : 84 = 7 × 12, le reste est 0.
La suite dans Réviz
5 autres questions, 5 autres flashcards, la carte mentale du chapitre, et ce qui coince qui revient au bon moment jusqu'au contrôle.
Ce que le programme attend
- Effectuer la division euclidienne d'un entier par un entier inférieur à 100 : dividende, diviseur, quotient, reste
- Écrire l'égalité a = b × q + r avec r < b
- Reconnaître multiples et diviseurs ; critères de divisibilité par 2, 5 et 10
- Diviser un nombre décimal par un entier inférieur à 10
- Distinguer division-partage (valeur d'une part) et division-groupement (nombre de parts)
- Convertir des durées (heures, minutes, secondes, jours) et calculer des horaires et des durées
Référence : Mathématiques cycle 3, programme de l'arrêté du 10/04/2025 (BO n°16 du 17/04/2025), en vigueur en 6e depuis la rentrée 2025. Une erreur dans cette fiche ? Signale-la, elle sera corrigée.