Fiche de révision · Maths 4eMultiplication et division des nombres relatifs
1er trimestre · chapitre 1 sur 14
Multiplier ou diviser des relatifs, c'est calculer avec les distances à zéro puis choisir le signe grâce à la règle des signes.
L'essentiel à retenir
- Même signe : produit ou quotient positif.
- Signes contraires : produit ou quotient négatif.
- Nombre impair de facteurs négatifs : produit négatif.
- On ne divise jamais par 0.
- Opposé : somme nulle ; inverse : produit égal à 1.
La leçon
1. Rappel : additionner et soustraire
Deux relatifs de même signe : on garde le signe et on ajoute les distances à zéro. De signes contraires : on prend le signe de celui qui a la plus grande distance à zéro, et on soustrait les distances à zéro. Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé.
Exemple
5 − (−3) = 5 + 3 = 8 ; (−7) + 4 = −3 ; (−3) + (−5) = −8.
2. Multiplier deux relatifs
On multiplie les distances à zéro, puis on applique la règle des signes. Deux facteurs de même signe donnent un produit positif. Deux facteurs de signes contraires donnent un produit négatif.
(−) × (−) = (+) et (−) × (+) = (−)
Exemple
(−4) × (−5) = 20 ; (−4) × 5 = −20 ; 3 × (−7) = −21.
3. Le signe d'un produit de plusieurs facteurs
Quand aucun facteur n'est nul, on compte les facteurs négatifs. S'ils sont en nombre pair, le produit est positif ; en nombre impair, il est négatif. Si l'un des facteurs est nul, le produit est nul.
Exemple
(−2) × (−3) × (−1) = −6 (trois facteurs négatifs) ; (−1) × (−2) × 5 × (−1) × (−1) = 10 (quatre facteurs négatifs).
4. Diviser deux relatifs
Le quotient suit la même règle des signes que le produit. Le diviseur doit être non nul : on ne divise jamais par 0. Le signe moins peut se placer devant la fraction, au numérateur ou au dénominateur.
−a/b = (−a)/b = a/(−b)
Exemple
(−20) ÷ (−4) = 5 ; 18 ÷ (−3) = −6 ; (−7)/2 = −3,5.
5. Calculer en respectant les priorités
On effectue d'abord les calculs entre parenthèses, puis les multiplications et divisions, puis les additions et soustractions. À priorité égale, on calcule de gauche à droite. Un carré ne porte que sur ce qui est écrit juste avant lui.
Exemple
−3 + 4 × (−2) = −3 + (−8) = −11.
6. Opposé et inverse
L'opposé de a est −a : leur somme vaut 0. L'inverse de a (a ≠ 0) est 1/a, car a × 1/a = 1 ; zéro n'a pas d'inverse. Un nombre et son inverse ont toujours le même signe.
Exemple
Opposé de 4 : −4, car 4 + (−4) = 0. Inverse de 4 : 0,25, car 4 × 0,25 = 1. Inverse de −4 : −1/4 = −0,25.
La méthode
Comment calculer un produit ou un quotient de relatifs
- Vérifie qu'aucun facteur n'est nul (sinon le produit vaut 0) et que le diviseur n'est pas 0.
- Compte les nombres négatifs : pair, le résultat est positif ; impair, il est négatif.
- Calcule avec les distances à zéro, sans t'occuper des signes.
- Écris le résultat avec le signe trouvé à l'étape 2.
Pièges à éviter
- (−3)² = 9 mais −3² = −9 : sans parenthèses, le carré ne porte que sur 3.
- La règle des signes vaut pour × et ÷, pas pour l'addition : (−3) + (−5) = −8, et non 8.
- Ne confonds pas opposé et inverse : l'opposé de 4 est −4 (somme nulle), son inverse est 0,25 (produit égal à 1).
Vocabulaire
- Nombre relatif
- Nombre formé d'un signe et d'une distance à zéro.
- Règle des signes
- Pour un produit ou un quotient : même signe donne un résultat positif, signes contraires un résultat négatif.
- Opposé
- Nombre de même distance à zéro et de signe contraire ; leur somme vaut 0.
- Inverse
- Nombre qui, multiplié par a, donne 1 : c'est 1/a.
- Facteur
- Chacun des nombres que l'on multiplie dans un produit.
Teste-toi
3 questions pour vérifier, corrigées tout de suite.
Flashcards
Essaie de répondre avant d'ouvrir la carte.
Quel est le signe du produit de deux nombres de même signe ?
Positif. Exemple : (−4) × (−5) = 20.
Quel est le signe du produit de deux nombres de signes contraires ?
Négatif. Exemple : 3 × (−7) = −21.
Comment trouver le signe d'un produit de plusieurs facteurs non nuls ?
On compte les facteurs négatifs : nombre pair, produit positif ; nombre impair, produit négatif.
La suite dans Réviz
4 autres questions, 5 autres flashcards, la carte mentale du chapitre, et ce qui coince qui revient au bon moment jusqu'au contrôle.
Ce que le programme attend
- Rappeler l'addition et la soustraction de deux nombres relatifs
- Multiplier deux nombres relatifs en appliquant la règle des signes
- Déterminer le signe d'un produit de plusieurs facteurs selon le nombre de facteurs négatifs
- Diviser deux nombres relatifs (quotient, division par un nombre non nul)
- Calculer une expression avec des relatifs en respectant les priorités opératoires
- Connaître l'inverse d'un nombre non nul et l'opposé d'un nombre
Référence : Mathématiques cycle 4 (BO spécial n°11 du 26/11/2015, ajusté BO n°31 du 30/07/2020), repères annuels de progression 2019. Une erreur dans cette fiche ? Signale-la, elle sera corrigée.