Fiche de révision · Maths 3eArithmétique : nombres premiers
1er trimestre · chapitre 1 sur 14
Les nombres premiers sont les briques de base des entiers : on s'en sert pour décomposer, simplifier et partager.
L'essentiel à retenir
- a = b × q + r avec 0 ≤ r < b.
- b divise a si a = b × k avec k entier.
- Un nombre premier a exactement deux diviseurs.
- Premiers inférieurs à 30 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
- Tout entier ≥ 2 a une unique décomposition en facteurs premiers.
La leçon
1. La division euclidienne
Pour deux entiers naturels a et b (b ≠ 0), il existe un unique couple (q ; r) tel que a = b × q + r avec 0 ≤ r < b. q est le quotient, r le reste. Le reste est toujours strictement plus petit que le diviseur b.
a = b × q + r, avec 0 ≤ r < b
Exemple
Division euclidienne de 100 par 7 : 100 = 7 × 14 + 2 (quotient 14, reste 2).
2. Multiples, diviseurs et critères
Si le reste est 0, b divise a : b est un diviseur de a et a est un multiple de b. Un nombre a une infinité de multiples, mais un nombre fini de diviseurs. Critères : par 2 si le chiffre des unités est pair, par 5 s'il est 0 ou 5, par 10 s'il est 0, par 3 (ou par 9) si la somme des chiffres est divisible par 3 (ou par 9).
Exemple
84 = 7 × 12, donc 7 divise 84. 2 340 se termine par 0 : divisible par 2, 5 et 10 ; 2 + 3 + 4 + 0 = 9 : divisible par 3 et par 9.
3. Les nombres premiers
Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts, 1 et lui-même. 1 n'est pas premier et 2 est le seul nombre premier pair. Pour savoir si n est premier, il suffit de tester les nombres premiers p tels que p × p ≤ n.
Exemple
Nombres premiers inférieurs à 30 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. 101 n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7, et 11 × 11 = 121 > 101 : 101 est premier.
4. Décomposer en produit de facteurs premiers
Tout entier supérieur ou égal à 2 se décompose en produit de facteurs premiers, de façon unique à l'ordre près. On divise successivement par 2, 3, 5, 7, 11… tant que c'est possible, puis on regroupe les facteurs égaux en puissances.
360 = 2³ × 3² × 5
Exemple
360 = 2 × 180 = 2 × 2 × 90 = 2 × 2 × 2 × 45 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5.
5. Rendre une fraction irréductible
Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n'ont pas d'autre diviseur commun que 1. Pour l'obtenir, on décompose numérateur et dénominateur, puis on simplifie les facteurs communs.
84/126 = (2² × 3 × 7)/(2 × 3² × 7) = 2/3
6. Problèmes de partage et de rencontre
Pour faire le plus grand nombre de lots identiques, on cherche le plus grand diviseur commun aux deux effectifs. Pour savoir quand deux cycles (engrenages, passages, rendez-vous) coïncident de nouveau, on cherche le plus petit multiple commun non nul. Les décompositions en facteurs premiers aident à les trouver.
Exemple
84 billes et 126 cartes : au plus 42 lots, de 2 billes et 3 cartes chacun. Deux cycles de 12 et 18 jours repartent ensemble au bout de 36 jours.
La méthode
Comment rendre une fraction irréductible
- Décompose le numérateur : divise par 2, 3, 5, 7… tant que c'est possible.
- Décompose de la même façon le dénominateur.
- Réécris la fraction avec les deux décompositions.
- Simplifie chaque facteur premier commun au numérateur et au dénominateur, un par un.
- Multiplie les facteurs restants : 84/126 = 2/3.
Pièges à éviter
- 1 n'est pas premier : il n'a qu'un seul diviseur, alors qu'un nombre premier en a exactement deux.
- 100 = 7 × 13 + 9 est vrai mais n'est pas la division euclidienne de 100 par 7 : le reste doit être plus petit que 7, donc 100 = 7 × 14 + 2.
- Ne confonds pas les deux types de problèmes : un partage en lots se résout avec un diviseur commun, une rencontre de cycles avec un multiple commun.
Vocabulaire
- Division euclidienne
- Division entière de a par b qui donne un quotient q et un reste r < b.
- Diviseur
- b est un diviseur de a si la division de a par b a un reste nul.
- Multiple
- a est un multiple de b si a = b × k avec k entier.
- Nombre premier
- Entier ayant exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.
- Décomposition en facteurs premiers
- Écriture d'un entier comme produit de nombres premiers.
- Fraction irréductible
- Fraction qu'on ne peut plus simplifier.
Teste-toi
3 questions pour vérifier, corrigées tout de suite.
Flashcards
Essaie de répondre avant d'ouvrir la carte.
Que signifie « 7 est un diviseur de 84 » ?
La division de 84 par 7 tombe juste (reste 0) : 84 = 7 × 12. On dit aussi que 84 est un multiple de 7.
Comment savoir si un nombre est divisible par 3 ou par 9 ?
On additionne ses chiffres : si la somme est divisible par 3 (ou par 9), le nombre l'est aussi. Exemple : 252 → 2 + 5 + 2 = 9.
Qu'est-ce qu'un nombre premier ?
Un entier qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. 1 n'est donc pas premier.
La suite dans Réviz
4 autres questions, 5 autres flashcards, la carte mentale du chapitre, et ce qui coince qui revient au bon moment jusqu'au contrôle.
Ce que le programme attend
- Reconnaître un multiple et un diviseur d'un entier, utiliser les critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9 et 10
- Connaître la définition d'un nombre premier et la liste des nombres premiers inférieurs à 30
- Décomposer un entier en produit de facteurs premiers
- Rendre une fraction irréductible à l'aide de la décomposition en facteurs premiers
- Résoudre des problèmes de partage, de regroupement ou d'engrenages (diviseurs communs, multiples communs)
- Utiliser la division euclidienne : a = b × q + r avec 0 ≤ r < b
Référence : Mathématiques cycle 4 (BO spécial n°11 du 26/11/2015, ajusté BO n°31 du 30/07/2020), repères annuels de progression 2019. Une erreur dans cette fiche ? Signale-la, elle sera corrigée.