Fiche de révision · Maths 4eDivisibilité et nombres premiers
3e trimestre · chapitre 13 sur 14
Les nombres premiers sont les briques de base des entiers : tout entier à partir de 2 s'écrit comme un produit de nombres premiers.
L'essentiel à retenir
- Divisible : reste nul.
- Premier : exactement deux diviseurs.
- 1 n'est pas premier ; 2 est le seul premier pair.
- Premiers inférieurs à 30 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
- Décomposition unique en facteurs premiers.
La leçon
1. Multiples, diviseurs et division euclidienne
Diviser a par b (b ≠ 0), c'est écrire a = b × q + r, avec un reste r compris entre 0 et b − 1. Si le reste est nul, a est un multiple de b, b est un diviseur de a, et a est divisible par b.
a = b × q + r avec 0 ≤ r < b
Exemple
Division euclidienne de 47 par 6 : 47 = 6 × 7 + 5 (quotient 7, reste 5). 36 = 4 × 9 : 36 est un multiple de 4 et 4 est un diviseur de 36.
2. Les critères de divisibilité
Un entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est pair, par 5 s'il se termine par 0 ou 5, par 10 s'il se termine par 0. Il est divisible par 3 (ou par 9) si la somme de ses chiffres est divisible par 3 (ou par 9).
Exemple
1 035 se termine par 5 : divisible par 5, pas par 2. 1 + 0 + 3 + 5 = 9 : divisible par 3 et par 9.
3. Les nombres premiers
Un nombre premier est un entier naturel qui a exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. 1 n'est pas premier, car il n'a qu'un diviseur ; 2 est le seul nombre premier pair. Le crible d'Ératosthène les fait apparaître : on barre les multiples de 2, 3, 5, 7… et les nombres non barrés, sauf 1, sont premiers.
Exemple
Nombres premiers inférieurs à 30 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
4. Savoir si un entier est premier
On cherche un diviseur parmi les nombres premiers 2, 3, 5, 7, 11… dans l'ordre. Dès qu'on en trouve un, le nombre n'est pas premier. On peut s'arrêter quand le carré du nombre testé dépasse le nombre étudié.
Exemple
91 = 7 × 13 : 91 n'est pas premier. 97 n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7, et 11² = 121 dépasse 97 : 97 est premier.
5. Décomposer en produit de facteurs premiers
Tout entier supérieur ou égal à 2 s'écrit comme un produit de nombres premiers. Cette décomposition est unique, à l'ordre près. On regroupe les facteurs égaux avec des puissances.
60 = 2² × 3 × 5
Exemple
60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5 ; 126 = 2 × 3² × 7 ; 84 = 2² × 3 × 7.
6. Simplifier une fraction, résoudre un problème
Pour rendre une fraction irréductible, on décompose le numérateur et le dénominateur, puis on supprime les facteurs communs. Pour un partage en paquets identiques le plus nombreux possible, on cherche le plus grand diviseur commun : le produit des facteurs premiers communs aux deux décompositions, chacun pris autant de fois qu'il apparaît dans les deux.
Exemple
84/126 = (2 × 2 × 3 × 7)/(2 × 3 × 3 × 7) = 2/3. Avec 84 billes rouges et 126 bleues, on fait au plus 2 × 3 × 7 = 42 paquets identiques, de 2 rouges et 3 bleues chacun.
La méthode
Comment décomposer un entier en produit de facteurs premiers
- Divise le nombre par 2 tant que c'est possible.
- Passe ensuite à 3, puis à 5, 7, 11… en t'aidant des critères de divisibilité.
- Arrête-toi quand le quotient vaut 1.
- Écris le produit de tous les diviseurs utilisés, avec des puissances : 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5.
- Vérifie en recalculant le produit.
Pièges à éviter
- 1 n'est pas premier : il n'a qu'un seul diviseur, alors qu'un nombre premier en a exactement deux.
- Impair ne veut pas dire premier : 9, 21 ou 91 = 7 × 13 sont impairs mais pas premiers.
- 60 = 4 × 15 n'est pas une décomposition en facteurs premiers : continue jusqu'à n'avoir que des nombres premiers, 2² × 3 × 5.
Vocabulaire
- Multiple
- a est un multiple de b si a = b × q avec q entier.
- Diviseur
- b est un diviseur de a si a = b × q avec q entier.
- Nombre premier
- Entier ayant exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
- Décomposition en facteurs premiers
- Écriture d'un entier comme produit de nombres premiers.
- Fraction irréductible
- Fraction dont numérateur et dénominateur n'ont que 1 comme diviseur commun.
Teste-toi
3 questions pour vérifier, corrigées tout de suite.
Flashcards
Essaie de répondre avant d'ouvrir la carte.
Que signifie « a est divisible par b » ?
Le reste de la division euclidienne de a par b est nul : a est un multiple de b, b est un diviseur de a.
Quel est le critère de divisibilité par 3 ?
La somme des chiffres est divisible par 3. 4 572 : 4 + 5 + 7 + 2 = 18, donc divisible par 3.
Qu'est-ce qu'un nombre premier ?
Un entier qui a exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.
La suite dans Réviz
4 autres questions, 4 autres flashcards, la carte mentale du chapitre, et ce qui coince qui revient au bon moment jusqu'au contrôle.
Ce que le programme attend
- Utiliser le vocabulaire multiple, diviseur, divisible et la division euclidienne
- Appliquer les critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9 et 10
- Connaître la définition d'un nombre premier et les nombres premiers inférieurs à 30
- Déterminer si un entier est premier
- Décomposer un entier en produit de facteurs premiers
- Utiliser la décomposition pour simplifier une fraction et résoudre des problèmes
Référence : Mathématiques cycle 4 (BO spécial n°11 du 26/11/2015, ajusté BO n°31 du 30/07/2020), repères annuels de progression 2019. Une erreur dans cette fiche ? Signale-la, elle sera corrigée.