Fiche de révision · Maths 3eTrigonométrie dans le triangle rectangle
2e trimestre · chapitre 9 sur 14
Dans un triangle rectangle, chaque angle aigu est relié aux longueurs des côtés par trois rapports : cosinus, sinus et tangente.
L'essentiel à retenir
- Uniquement dans un triangle rectangle.
- SOH CAH TOA.
- cos et sin d'un angle aigu sont entre 0 et 1.
- cos(60°) = sin(30°) = 0,5 ; tan(45°) = 1.
- Calculatrice en mode degré.
La leçon
1. Nommer les côtés
L'hypoténuse est en face de l'angle droit ; c'est le plus long côté et elle ne change jamais. Le côté adjacent et le côté opposé dépendent de l'angle aigu choisi : l'adjacent est le côté de l'angle droit qui forme l'angle, l'opposé est celui qui ne le forme pas.
Exemple
ABC rectangle en A. Pour l'angle en B : hypoténuse [BC], côté adjacent [AB], côté opposé [AC]. Pour l'angle en C, adjacent et opposé s'échangent.
2. Cosinus, sinus et tangente
Le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu sont des quotients de longueurs. Pour un angle aigu, le cosinus et le sinus sont compris strictement entre 0 et 1, car l'hypoténuse est le plus long côté. Ces relations ne s'appliquent que dans un triangle rectangle.
cos = adj / hyp ; sin = opp / hyp ; tan = opp / adj
Exemple
Valeurs utiles : cos(60°) = sin(30°) = 0,5 ; tan(45°) = 1.
3. Calculer une longueur
On écrit la relation choisie avec les valeurs connues, puis on isole l'inconnue. Si elle est au numérateur, on multiplie ; si elle est au dénominateur, on divise.
Exemple
ABC rectangle en A, BC = 10 cm, angle ABC = 30° : AC = BC × sin(30°) = 10 × 0,5 = 5 cm. Si AB = 6 cm et angle ABC = 60° : cos(60°) = AB/BC, donc BC = 6 ÷ 0,5 = 12 cm.
4. Calculer un angle
On calcule d'abord le quotient de deux longueurs connues. On retrouve ensuite l'angle avec la touche cos⁻¹, sin⁻¹ ou tan⁻¹ (Arccos, Arcsin, Arctan) de la calculatrice, réglée en mode degré.
x = arccos(0,8) ≈ 36,9°
Exemple
Si cos(x) = 0,8, alors x = arccos(0,8) ≈ 36,9°.
5. Choisir la bonne relation
On repère l'angle connu ou cherché, puis on nomme les côtés par rapport à lui. On choisit la relation qui contient les deux données et l'inconnue. Hypoténuse en jeu avec l'adjacent : cosinus ; avec l'opposé : sinus ; sans hypoténuse : tangente.
Exemple
On connaît l'hypoténuse et on cherche le côté opposé à l'angle : on utilise le sinus. On connaît les deux côtés de l'angle droit : on utilise la tangente.
6. Résoudre un problème concret
On repère un triangle rectangle dans la situation : un arbre ou un mur vertical sur un sol horizontal, une pente, un angle d'élévation. On fait un schéma codé, puis on applique la méthode. On répond avec l'unité et l'arrondi demandés.
Exemple
Depuis le sol, à 20 m du pied d'un arbre, on voit son sommet sous un angle de 35° : h = 20 × tan(35°) ≈ 14 m.
La méthode
Comment calculer avec la trigonométrie
- Vérifie que le triangle est rectangle et repère l'angle connu ou cherché.
- Nomme les côtés par rapport à cet angle : hypoténuse, côté adjacent, côté opposé.
- Choisis la relation (SOH CAH TOA) qui contient les deux données et l'inconnue.
- Écris l'égalité, puis isole l'inconnue.
- Calcule à la calculatrice en mode degré et arrondis comme demandé.
Pièges à éviter
- Ces relations ne valent que dans un triangle rectangle : vérifie l'angle droit avant de les utiliser.
- Adjacent et opposé dépendent de l'angle étudié : si tu changes d'angle, ils s'échangent ; l'hypoténuse n'est jamais le côté adjacent.
- Règle la calculatrice en mode degré : en radians, cos(60) ne donne pas 0,5.
Vocabulaire
- Hypoténuse
- Côté opposé à l'angle droit, le plus long du triangle rectangle.
- Côté adjacent
- Côté de l'angle droit qui forme l'angle aigu étudié.
- Côté opposé
- Côté de l'angle droit situé en face de l'angle aigu étudié.
- Cosinus
- Quotient côté adjacent / hypoténuse.
- Sinus
- Quotient côté opposé / hypoténuse.
- Tangente
- Quotient côté opposé / côté adjacent.
Teste-toi
3 questions pour vérifier, corrigées tout de suite.
Flashcards
Essaie de répondre avant d'ouvrir la carte.
Qu'est-ce que l'hypoténuse d'un triangle rectangle ?
Le côté opposé à l'angle droit ; c'est le plus long côté.
Quelle est la définition du cosinus d'un angle aigu ?
cos = côté adjacent / hypoténuse.
Quelle est la définition du sinus d'un angle aigu ?
sin = côté opposé / hypoténuse.
La suite dans Réviz
4 autres questions, 5 autres flashcards, la carte mentale du chapitre, et ce qui coince qui revient au bon moment jusqu'au contrôle.
Ce que le programme attend
- Identifier l'hypoténuse, le côté adjacent et le côté opposé à un angle aigu
- Connaître les définitions du cosinus, du sinus et de la tangente d'un angle aigu
- Calculer une longueur à l'aide d'une relation trigonométrique
- Calculer la mesure d'un angle à l'aide de la calculatrice (arccos, arcsin, arctan)
- Choisir la bonne relation selon les données
- Résoudre un problème concret (hauteur inaccessible, pente, angle d'élévation)
Référence : Mathématiques cycle 4 (BO spécial n°11 du 26/11/2015, ajusté BO n°31 du 30/07/2020), repères annuels de progression 2019. Une erreur dans cette fiche ? Signale-la, elle sera corrigée.