Fiche de révision · Maths 3eProbabilités
3e trimestre · chapitre 12 sur 14
Une probabilité mesure, par un nombre entre 0 et 1, les chances qu'un événement se réalise.
L'essentiel à retenir
- 0 ≤ P(A) ≤ 1.
- Équiprobabilité : issues favorables / issues possibles.
- P(non A) = 1 − P(A).
- Incompatibles : P(A ou B) = P(A) + P(B).
- Arbre : on multiplie le long d'un chemin.
La leçon
1. Vocabulaire
Une expérience aléatoire a plusieurs résultats possibles, les issues, et on ne peut pas prévoir lequel se produira. Un événement est un ensemble d'issues ; il est réalisé si l'issue obtenue en fait partie. Il est impossible s'il ne contient aucune issue, certain s'il les contient toutes.
Exemple
Lancer d'un dé à 6 faces : l'événement « obtenir un nombre pair » regroupe les issues 2, 4 et 6. Si on obtient 4, il est réalisé.
2. Calculer une probabilité
Il y a équiprobabilité quand toutes les issues ont la même probabilité (dé ou pièce équilibré, tirage au hasard). On divise alors le nombre d'issues favorables par le nombre total d'issues.
P(A) = issues favorables / issues possibles
Exemple
Dé équilibré à 6 faces : P(« obtenir un nombre pair ») = 3/6 = 1/2.
3. Propriétés et événement contraire
Une probabilité est comprise entre 0 et 1 : 0 pour un événement impossible, 1 pour un événement certain. La somme des probabilités de toutes les issues vaut 1. L'événement contraire de A, noté « non A », est réalisé quand A ne l'est pas.
P(non A) = 1 − P(A)
Exemple
Dé équilibré : P(« obtenir 6 ») = 1/6, donc P(« ne pas obtenir 6 ») = 1 − 1/6 = 5/6.
4. Événements incompatibles
Deux événements sont incompatibles s'ils ne peuvent pas être réalisés en même temps. On peut alors additionner leurs probabilités pour obtenir celle de « A ou B ». Un événement et son contraire sont toujours incompatibles.
P(A ou B) = P(A) + P(B)
Exemple
Dé équilibré : « obtenir 1 » et « obtenir un nombre pair » sont incompatibles, donc P(1 ou pair) = 1/6 + 3/6 = 4/6 = 2/3. En revanche, « obtenir un nombre pair » et « obtenir plus de 4 » sont compatibles : le 6 réalise les deux.
5. Expériences à deux épreuves
On liste toutes les issues avec un arbre des possibles ou un tableau à double entrée. Dans un arbre, la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités le long de ses branches. Dans un tableau d'issues équiprobables, on compte les cases favorables.
P(pile puis pile) = 1/2 × 1/2 = 1/4
Exemple
Deux pièces équilibrées : P(« deux piles ») = 1/2 × 1/2 = 1/4. Deux dés : 36 issues équiprobables, dont 6 donnent une somme égale à 7, donc P(« somme égale à 7 ») = 6/36 = 1/6.
6. Fréquence et probabilité
Quand on répète un grand nombre de fois une expérience, la fréquence observée d'un événement se rapproche de sa probabilité. On peut le constater par une simulation avec un tableur ou avec Scratch. Sur peu d'essais, la fréquence peut s'en écarter nettement.
Exemple
En simulant des milliers de lancers d'un dé équilibré, la fréquence du 6 se rapproche de 1/6 ≈ 0,17.
La méthode
Comment calculer une probabilité avec un arbre
- Trace une branche par issue de la première épreuve, puis, au bout de chacune, les branches de la seconde épreuve.
- Écris la probabilité sur chaque branche : celles qui partent d'un même point ont pour somme 1.
- Pour un chemin, multiplie les probabilités le long des branches.
- Pour un événement formé de plusieurs chemins, additionne leurs probabilités : P(« une pile et une face ») = 1/4 + 1/4 = 1/2.
Pièges à éviter
- Dans un arbre, on multiplie le long d'un chemin, mais on additionne les probabilités de chemins différents.
- Avec deux dés, les sommes de 2 à 12 ne sont pas équiprobables : P(« somme égale à 7 ») = 6/36, mais P(« somme égale à 2 ») = 1/36.
- On n'additionne P(A) et P(B) pour obtenir P(A ou B) que si A et B sont incompatibles.
Vocabulaire
- Issue
- Résultat possible d'une expérience aléatoire.
- Événement
- Ensemble d'issues d'une expérience aléatoire.
- Équiprobabilité
- Situation où toutes les issues ont la même probabilité.
- Événement contraire
- Événement « non A », réalisé quand A ne l'est pas.
- Incompatibles
- Se dit de deux événements qui ne peuvent pas se réaliser en même temps.
- Arbre des possibles
- Schéma qui représente toutes les issues d'une expérience à plusieurs épreuves.
Teste-toi
3 questions pour vérifier, corrigées tout de suite.
Flashcards
Essaie de répondre avant d'ouvrir la carte.
Qu'est-ce qu'une expérience aléatoire ?
Une expérience dont on connaît les résultats possibles (les issues) sans pouvoir prévoir lequel se produira.
Qu'est-ce qu'un événement ?
Un ensemble d'issues. Exemple : « obtenir un nombre pair » avec un dé regroupe 2, 4 et 6.
Entre quelles valeurs est comprise une probabilité ?
Entre 0 (événement impossible) et 1 (événement certain).
La suite dans Réviz
4 autres questions, 5 autres flashcards, la carte mentale du chapitre, et ce qui coince qui revient au bon moment jusqu'au contrôle.
Ce que le programme attend
- Utiliser le vocabulaire des probabilités : expérience aléatoire, issue, événement
- Calculer une probabilité dans une situation d'équiprobabilité
- Connaître les propriétés : 0 ≤ P(A) ≤ 1, somme des probabilités des issues égale à 1, événement contraire
- Reconnaître des événements incompatibles
- Modéliser une expérience aléatoire à deux épreuves par un arbre ou un tableau
- Faire le lien entre fréquence observée et probabilité lorsque le nombre d'essais augmente
Référence : Mathématiques cycle 4 (BO spécial n°11 du 26/11/2015, ajusté BO n°31 du 30/07/2020), repères annuels de progression 2019. Une erreur dans cette fiche ? Signale-la, elle sera corrigée.