Fiche de révision · Maths 3eTransformations du plan et homothéties
2e trimestre · chapitre 10 sur 14
Les transformations du plan déplacent, retournent, font tourner, agrandissent ou réduisent des figures.
L'essentiel à retenir
- Symétries, translation, rotation : figure superposable.
- Homothétie : OM' = |k| × OM sur la droite (OM).
- Longueurs × |k|, aires × k², angles conservés.
- k < 0 : l'image passe de l'autre côté du centre.
- |k| > 1 agrandissement ; 0 < |k| < 1 réduction.
La leçon
1. Symétries, translation et rotation
Une translation fait glisser la figure : si elle transforme A en B, elle transforme M en M' tel que ABM'M soit un parallélogramme. Une rotation de centre O et d'angle α donne OM' = OM et un angle MOM' de mesure α, dans le sens indiqué. Ces transformations et les symétries conservent les longueurs, les angles, les aires et l'alignement : la figure image est superposable à la figure de départ.
Exemple
Par une rotation de centre O et d'angle 90°, un carré de côté 3 cm a pour image un carré de côté 3 cm, de même aire 9 cm².
2. Définition de l'homothétie
L'homothétie de centre O et de rapport k (k ≠ 0) envoie M sur M' situé sur la droite (OM), avec OM' = |k| × OM. Si k > 0, M' est du même côté que M par rapport à O ; si k < 0, il est de l'autre côté de O. Le rapport −1 donne la symétrie centrale de centre O.
OM' = |k| × OM
Exemple
Centre O, OM = 3 cm. Rapport 2 : M' est sur [OM), avec OM' = 6 cm. Rapport −2 : OM' = 6 cm aussi, mais de l'autre côté de O.
3. Construire l'image d'une figure
Pour chaque sommet, on trace la droite qui le relie au centre O, puis on reporte la distance |k| × OM du bon côté de O. On relie ensuite les images dans le même ordre que les sommets de départ.
Exemple
Triangle ABC, homothétie de centre O et de rapport 0,5 : A', B' et C' sont les milieux de [OA], [OB] et [OC].
4. Effets d'une homothétie
Les longueurs sont multipliées par |k| et les aires par k². Les angles, le parallélisme et l'alignement sont conservés. Une droite et son image sont parallèles (confondues si la droite passe par le centre O).
Aire image = k² × aire initiale
Exemple
Un triangle d'aire 6 cm² a pour image par une homothétie de rapport 3 un triangle d'aire 6 × 9 = 54 cm².
5. Frises, pavages et rosaces
Ces figures s'obtiennent en répétant un motif. Dans une frise, on passe d'un motif au suivant par une translation, parfois par une symétrie. Dans une rosace, on passe d'un motif au suivant par une rotation autour du centre. Un pavage peut combiner translations, symétries et rotations.
Exemple
Une rosace de 8 motifs identiques : on passe d'un motif au suivant par une rotation de 360° ÷ 8 = 45°.
6. Homothétie, Thalès, agrandissement et réduction
Si M' et N' sont les images de M et N par l'homothétie de centre O, alors (MN) // (M'N') : on retrouve une configuration de Thalès. Les quotients de longueurs valent tous |k|. Si |k| > 1, c'est un agrandissement ; si 0 < |k| < 1, une réduction.
OM'/OM = ON'/ON = M'N'/MN = |k|
Exemple
Homothétie de centre O et de rapport 1,5 : si MN = 4 cm, alors M'N' = 1,5 × 4 = 6 cm, et (M'N') // (MN).
La méthode
Comment construire l'image d'un point par une homothétie
- Trace la droite (OM), qui passe par le centre et par le point.
- Mesure OM et calcule OM' = |k| × OM.
- Si k > 0, place M' sur la demi-droite [OM) ; si k < 0, place-le de l'autre côté de O.
- Pour une figure, construis l'image de chaque sommet, puis relie les images dans le même ordre.
Pièges à éviter
- Les aires sont multipliées par k², pas par k : avec un rapport 3, l'aire est multipliée par 9.
- Un rapport négatif ne donne pas de longueur négative : il place l'image de l'autre côté du centre, et les longueurs sont multipliées par |k|.
- C'est |k| qui décide entre agrandissement et réduction, pas le signe : k = −0,5 donne une réduction, k = −2 un agrandissement.
Vocabulaire
- Translation
- Glissement selon une direction, un sens et une longueur.
- Rotation
- Transformation qui fait tourner une figure autour d'un point d'un angle donné.
- Homothétie
- Transformation de centre O et de rapport k qui agrandit ou réduit.
- Rapport
- Nombre k d'une homothétie ; |k| multiplie les longueurs.
- Agrandissement
- Transformation qui multiplie les longueurs par un nombre plus grand que 1.
- Réduction
- Transformation qui multiplie les longueurs par un nombre compris entre 0 et 1.
Teste-toi
3 questions pour vérifier, corrigées tout de suite.
Flashcards
Essaie de répondre avant d'ouvrir la carte.
Quelles transformations conservent les longueurs et les aires ?
La symétrie axiale, la symétrie centrale, la translation et la rotation.
Comment est définie l'image M' de M par une rotation de centre O et d'angle α ?
OM' = OM et l'angle MOM' mesure α, dans le sens indiqué.
Comment construire l'image M' de M par l'homothétie de centre O et de rapport k ?
M' est sur la droite (OM), avec OM' = |k| × OM ; du même côté que M si k > 0, de l'autre côté de O si k < 0.
La suite dans Réviz
4 autres questions, 4 autres flashcards, la carte mentale du chapitre, et ce qui coince qui revient au bon moment jusqu'au contrôle.
Ce que le programme attend
- Reconnaître et construire l'image d'une figure par une symétrie, une translation ou une rotation
- Connaître la définition d'une homothétie de centre O et de rapport k
- Construire l'image d'une figure par une homothétie de rapport positif ou négatif
- Connaître l'effet d'une homothétie sur les longueurs (× |k|), les aires (× k²) et les angles (conservés)
- Identifier une transformation qui passe d'une figure à une autre dans une frise, un pavage ou une rosace
- Relier homothétie, configuration de Thalès et agrandissement-réduction
Référence : Mathématiques cycle 4 (BO spécial n°11 du 26/11/2015, ajusté BO n°31 du 30/07/2020), repères annuels de progression 2019. Une erreur dans cette fiche ? Signale-la, elle sera corrigée.