Fiche de révision · Maths 3eGéométrie dans l'espace : sphère, sections et volumes
3e trimestre · chapitre 13 sur 14
Ce chapitre réunit les formules de volume, la sphère, les sections planes et le repérage dans l'espace.
L'essentiel à retenir
- Sphère : A = 4πr² ; boule : V = (4/3)πr³.
- Cône et pyramide : (1/3) × base × hauteur.
- Section d'une sphère : un cercle.
- Rapport k : longueurs × k, aires × k², volumes × k³.
- 1 dm³ = 1 L ; 1 m³ = 1 000 L.
La leçon
1. Sphère et boule
La sphère de centre O et de rayon r est l'ensemble des points M de l'espace tels que OM = r : c'est une surface. La boule est l'ensemble des points tels que OM ≤ r : c'est un solide. On calcule donc l'aire d'une sphère, mais le volume d'une boule.
A sphère = 4 × π × r² ; V boule = (4/3) × π × r³
Exemple
Sphère de rayon 5 cm : A = 4 × π × 25 = 100π ≈ 314 cm². Boule de rayon 3 cm : V = (4/3) × π × 27 = 36π ≈ 113 cm³.
2. Volumes des solides
Pavé droit : longueur × largeur × hauteur. Prisme droit ou cylindre : aire de la base × hauteur, soit π × r² × h pour le cylindre. Pyramide ou cône : le tiers de l'aire de la base × hauteur.
V pyramide ou cône = (1/3) × aire de la base × h
Exemple
Cylindre de rayon 2 cm et de hauteur 5 cm : V = π × 4 × 5 = 20π ≈ 62,8 cm³. Le cône de même base et de même hauteur a un volume trois fois plus petit : 20π/3 ≈ 20,9 cm³.
3. Sections planes
Pavé droit coupé par un plan parallèle à une face : rectangle de mêmes dimensions que cette face ; parallèle à une arête : rectangle. Cylindre : un plan parallèle à la base donne un disque de même rayon, parallèle à l'axe un rectangle. Pyramide ou cône : un plan parallèle à la base donne une réduction de la base. Sphère : un cercle (un point si le plan est tangent), et un grand cercle de rayon r si le plan passe par le centre.
Exemple
Sphère de rayon 5 cm coupée par un plan situé à 3 cm du centre : la section est un cercle de rayon √(5² − 3²) = √16 = 4 cm (théorème de Pythagore).
4. Se repérer dans un pavé et sur la Terre
Dans un pavé droit, un point est repéré par trois coordonnées : abscisse, ordonnée, altitude. Sur la Terre, la latitude (de 0° à 90° Nord ou Sud) se mesure à partir de l'équateur. La longitude (de 0° à 180° Est ou Ouest) se mesure à partir du méridien de Greenwich.
Exemple
Un point de l'équateur a une latitude de 0° ; le pôle Nord a une latitude de 90° Nord. Paris est à environ 49° Nord et 2° Est.
5. Agrandissement et réduction
Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k, les longueurs sont multipliées par k, les aires par k² et les volumes par k³. Les angles sont conservés.
V' = k³ × V
Exemple
Une pyramide réduite de rapport 1/2 a un volume (1/2)³ = 1/8 du volume de départ : 8 fois plus petit. Agrandie de rapport 3, son volume serait multiplié par 27.
6. Unités de volume et de contenance
Chaque unité de volume vaut 1 000 fois l'unité suivante. Pour les liquides, on utilise les correspondances 1 dm³ = 1 L, 1 m³ = 1 000 L et 1 cm³ = 1 mL.
1 dm³ = 1 L ; 1 m³ = 1 000 L ; 1 cm³ = 1 mL
Exemple
Un récipient cylindrique de 20π cm³ ≈ 62,8 cm³ contient environ 62,8 mL, soit 0,0628 L.
La méthode
Comment calculer le volume d'un solide
- Reconnais le solide et écris la formule qui lui correspond.
- Repère les mesures utiles : le rayon (pas le diamètre) et la hauteur perpendiculaire à la base.
- Exprime toutes les longueurs dans la même unité, puis calcule.
- Donne la valeur exacte avec π, puis une valeur approchée avec l'unité au cube.
- Convertis en litres si on te le demande.
Pièges à éviter
- Dans une réduction de rapport 1/2, le volume n'est pas divisé par 2 mais par 8 : les volumes sont multipliés par k³.
- Ne confonds pas l'aire de la sphère, 4πr² en cm², et le volume de la boule, (4/3)πr³ en cm³.
- Les formules utilisent le rayon : si l'énoncé donne le diamètre, divise-le par 2 avant de calculer.
Vocabulaire
- Sphère
- Ensemble des points situés à la distance r du centre.
- Boule
- Ensemble des points situés à une distance inférieure ou égale à r du centre.
- Section plane
- Figure obtenue en coupant un solide par un plan.
- Grand cercle
- Section d'une sphère par un plan qui passe par son centre ; son rayon est celui de la sphère.
- Latitude
- Angle qui repère un lieu au nord ou au sud de l'équateur.
- Longitude
- Angle qui repère un lieu à l'est ou à l'ouest du méridien de Greenwich.
Teste-toi
3 questions pour vérifier, corrigées tout de suite.
Flashcards
Essaie de répondre avant d'ouvrir la carte.
Quelle est la formule de l'aire d'une sphère de rayon r ?
A = 4 × π × r².
Quelle est la formule du volume d'une boule de rayon r ?
V = (4/3) × π × r³.
Quelle est la formule du volume d'un cône ou d'une pyramide ?
V = (1/3) × aire de la base × hauteur.
La suite dans Réviz
4 autres questions, 5 autres flashcards, la carte mentale du chapitre, et ce qui coince qui revient au bon moment jusqu'au contrôle.
Ce que le programme attend
- Connaître la sphère et la boule, calculer l'aire d'une sphère et le volume d'une boule
- Calculer les volumes du pavé, du prisme, du cylindre, de la pyramide et du cône
- Connaître la nature des sections planes d'un pavé, d'un cylindre, d'une pyramide, d'un cône et d'une sphère
- Se repérer sur un pavé droit et sur la sphère terrestre (latitude, longitude)
- Connaître l'effet d'un agrandissement ou d'une réduction de rapport k sur les longueurs, aires et volumes
- Convertir des unités de volume et de contenance
Référence : Mathématiques cycle 4 (BO spécial n°11 du 26/11/2015, ajusté BO n°31 du 30/07/2020), repères annuels de progression 2019. Une erreur dans cette fiche ? Signale-la, elle sera corrigée.