Fiche de révision · Maths 3eCalcul littéral et identités remarquables
1er trimestre · chapitre 3 sur 14
Le calcul littéral permet de transformer des expressions et de prouver des résultats valables pour tous les nombres.
L'essentiel à retenir
- Développer : produit → somme.
- Factoriser : somme → produit.
- (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
- (a + b)(a − b) = a² − b².
- Un contre-exemple suffit à prouver qu'une égalité est fausse.
La leçon
1. Développer
Avec une seule parenthèse, on multiplie le facteur par chaque terme : k(a + b) = ka + kb. Avec deux parenthèses, chaque terme de la première multiplie chaque terme de la seconde. On peut ainsi développer un carré en l'écrivant comme un produit : (a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + 2ab + b².
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Exemple
(2x + 3)(x − 5) = 2x² − 10x + 3x − 15 = 2x² − 7x − 15.
2. Factoriser avec un facteur commun
On repère un facteur commun à tous les termes, qui peut être une parenthèse entière. On le place devant, et on écrit entre crochets ou parenthèses ce qui reste. On vérifie toujours en redéveloppant.
ka + kb = k(a + b)
Exemple
(x + 1)(2x − 3) + (x + 1)(x + 4) = (x + 1)[(2x − 3) + (x + 4)] = (x + 1)(3x + 1).
3. L'identité remarquable a² − b²
Le produit d'une somme par une différence des mêmes termes donne une différence de deux carrés. Lue de gauche à droite, elle sert à développer ; lue de droite à gauche, à factoriser. Pour factoriser, on écrit chaque terme comme un carré.
(a + b)(a − b) = a² − b²
Exemple
(x − 3)(x + 3) = x² − 9. 4x² − 25 = (2x)² − 5² = (2x − 5)(2x + 5).
4. Réduire une expression
Réduire, c'est regrouper les termes de même nature : les termes en x², les termes en x et les nombres. Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chaque terme qu'elle contient.
−(a − b) = −a + b
Exemple
3x² + 2x − x² + 5x = 2x² + 7x. 5 − (2x − 3) = 5 − 2x + 3 = 8 − 2x.
5. Prouver un résultat général
Pour montrer qu'un programme de calcul donne toujours le même type de résultat, on nomme x le nombre choisi. On traduit chaque étape en expression, puis on développe et on réduit. La forme obtenue prouve le résultat pour tous les nombres à la fois.
Exemple
Choisir x, ajouter 3, élever au carré, soustraire x² : (x + 3)² − x² = x² + 6x + 9 − x² = 6x + 9 = 3(2x + 3). Si x est entier, le résultat est toujours un multiple de 3.
6. Tester une égalité
On remplace la lettre par une valeur et on calcule séparément chaque membre. Si les deux résultats diffèrent, on a un contre-exemple : un seul suffit pour prouver que l'égalité est fausse. Si les résultats sont égaux pour quelques valeurs, ce n'est pas une preuve.
Exemple
(x + 3)² = x² + 9 ? Pour x = 1 : (1 + 3)² = 16 et 1² + 9 = 10. L'égalité est fausse. Pour x = 0, on trouve 9 des deux côtés, ce qui ne prouve rien.
La méthode
Comment prouver un résultat avec un programme de calcul
- Nomme x le nombre choisi au départ.
- Traduis chaque étape du programme : « ajouter 3 » donne x + 3, « élever au carré » donne (x + 3)².
- Développe, puis réduis l'expression finale.
- Fais apparaître la propriété cherchée, au besoin en factorisant : 6x + 9 = 3(2x + 3).
- Conclus par une phrase générale qui précise les nombres de départ concernés : « pour tout entier x, le résultat est un multiple de 3 ».
Pièges à éviter
- (x + 3)² n'est pas x² + 9 : par double distributivité, (x + 3)² = x² + 6x + 9.
- Un moins devant une parenthèse change le signe de tous les termes : −(x − 5) = −x + 5, et non −x − 5.
- Vérifier une égalité sur quelques valeurs ne prouve pas qu'elle est toujours vraie : il faut un calcul avec x ; en revanche, un seul contre-exemple prouve qu'elle est fausse.
Vocabulaire
- Expression littérale
- Expression qui contient des lettres représentant des nombres.
- Développer
- Écrire un produit sous forme de somme.
- Factoriser
- Écrire une somme sous forme de produit.
- Réduire
- Regrouper les termes de même nature d'une expression.
- Identité remarquable
- Égalité vraie pour tous a et b, comme (a + b)(a − b) = a² − b².
- Contre-exemple
- Valeur qui montre qu'une affirmation générale est fausse.
Teste-toi
3 questions pour vérifier, corrigées tout de suite.
Flashcards
Essaie de répondre avant d'ouvrir la carte.
Que veut dire « développer » une expression ?
Transformer un produit en somme. Exemple : 3(x + 2) = 3x + 6.
Que veut dire « factoriser » une expression ?
Transformer une somme en produit. Exemple : 5x + 10 = 5(x + 2).
Quelle est la formule de la double distributivité ?
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
La suite dans Réviz
4 autres questions, 4 autres flashcards, la carte mentale du chapitre, et ce qui coince qui revient au bon moment jusqu'au contrôle.
Ce que le programme attend
- Développer une expression avec la simple et la double distributivité
- Factoriser une expression à l'aide d'un facteur commun
- Connaître et utiliser l'identité remarquable (a + b)(a − b) = a² − b² pour développer et factoriser
- Réduire une expression littérale
- Utiliser le calcul littéral pour prouver un résultat général (programme de calcul)
- Tester une égalité en substituant des valeurs numériques
Référence : Mathématiques cycle 4 (BO spécial n°11 du 26/11/2015, ajusté BO n°31 du 30/07/2020), repères annuels de progression 2019. Une erreur dans cette fiche ? Signale-la, elle sera corrigée.