Fiche de révision · Maths 3ePuissances et racines carrées
1er trimestre · chapitre 2 sur 14
Une puissance est un produit de facteurs identiques ; la racine carrée fait l'opération inverse du carré pour les nombres positifs.
L'essentiel à retenir
- a⁰ = 1 et a⁻ⁿ = 1/aⁿ (a ≠ 0).
- Même base : on additionne les exposants pour un produit.
- Notation scientifique : a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10.
- √a n'existe que si a ≥ 0 et vaut un nombre positif.
- Carrés parfaits : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144.
La leçon
1. Puissances d'exposant entier relatif
Pour n entier positif non nul, aⁿ est le produit de n facteurs égaux à a. Par convention, a¹ = a et a⁰ = 1 (a ≠ 0). Pour a ≠ 0, a⁻ⁿ = 1/aⁿ : c'est l'inverse de aⁿ, et il n'est pas négatif quand a est positif.
a⁻ⁿ = 1/aⁿ
Exemple
2⁻³ = 1/2³ = 1/8 = 0,125 ; 5⁰ = 1.
2. Règles de calcul sur les puissances
Pour une même base non nulle, on additionne les exposants d'un produit, on les soustrait pour un quotient et on les multiplie pour une puissance de puissance. Ces règles ne valent ni pour une somme ni pour deux bases différentes. En cas de doute, on revient à la définition en comptant les facteurs.
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ ; aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ ; (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
Exemple
2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128 ; 3⁵ / 3² = 3³ = 27 ; (2³)² = 2⁶ = 64. Mais 2³ + 2² = 8 + 4 = 12, et non 2⁵ = 32.
3. Puissances de 10 et préfixes
10ⁿ s'écrit 1 suivi de n zéros ; 10⁻ⁿ s'écrit 0,00…01 avec le 1 au n-ième rang après la virgule. Les préfixes traduisent des puissances de 10 : giga = 10⁹, méga = 10⁶, kilo = 10³, milli = 10⁻³, micro = 10⁻⁶, nano = 10⁻⁹.
Exemple
10⁴ × 10⁻⁶ = 10⁻² = 0,01, car 4 + (−6) = −2. 3 nm = 3 × 10⁻⁹ m.
4. Notation scientifique et ordres de grandeur
Un nombre s'écrit a × 10ⁿ, avec 1 ≤ a < 10 et n entier relatif. On obtient un ordre de grandeur en arrondissant a à l'unité. Pour comparer deux nombres, on regarde d'abord l'exposant, puis le nombre a.
0,000 52 = 5,2 × 10⁻⁴
Exemple
45 300 = 4,53 × 10⁴, dont l'ordre de grandeur est 5 × 10⁴ ; 0,0072 = 7,2 × 10⁻³.
5. La racine carrée
Pour a positif, √a est le nombre positif dont le carré vaut a. La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas. Un nombre et son opposé ont le même carré, mais la racine carrée est toujours positive.
(√a)² = a pour a ≥ 0
Exemple
5² = (−5)² = 25, mais √25 = 5 uniquement.
6. Les carrés parfaits
Les carrés parfaits sont les carrés des entiers ; leur racine carrée est un entier. Ceux de 1 à 144 sont à connaître par cœur. Si a n'est pas un carré parfait, la calculatrice donne une valeur approchée de √a.
Exemple
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144 ont pour racines 1 à 12 : √49 = 7, √121 = 11, √144 = 12. En revanche, √2 ≈ 1,414.
La méthode
Comment calculer un produit en notation scientifique
- Regroupe les nombres d'un côté et les puissances de 10 de l'autre : (3 × 10⁵) × (4 × 10⁻²) = (3 × 4) × (10⁵ × 10⁻²).
- Calcule le produit des nombres : 3 × 4 = 12.
- Additionne les exposants des puissances de 10 : 10⁵ × 10⁻² = 10³.
- Si le nombre obtenu n'est pas entre 1 et 10, corrige l'écriture : 12 × 10³ = 1,2 × 10⁴.
Pièges à éviter
- −3² = −9 mais (−3)² = 9 : sans parenthèses, le carré ne porte que sur 3.
- 2³ + 2² n'est pas 2⁵ : les règles sur les exposants valent pour les produits et les quotients, pas pour les sommes.
- Un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif : 2⁻³ = 1/8 = 0,125, et non −8.
Vocabulaire
- Exposant
- Nombre n dans aⁿ ; pour n entier positif, il indique le nombre de facteurs égaux à a.
- Inverse
- Pour a ≠ 0, l'inverse de aⁿ est a⁻ⁿ = 1/aⁿ : leur produit vaut 1.
- Notation scientifique
- Écriture a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10.
- Ordre de grandeur
- Valeur approchée simple qui donne la taille d'un nombre.
- Racine carrée
- √a est le nombre positif dont le carré vaut a.
- Carré parfait
- Carré d'un entier : 1, 4, 9, 16, 25…
Teste-toi
3 questions pour vérifier, corrigées tout de suite.
Flashcards
Essaie de répondre avant d'ouvrir la carte.
Que vaut 2⁻³ ?
2⁻³ = 1/2³ = 1/8 = 0,125. Un exposant négatif donne l'inverse.
Quelle règle permet de calculer 10⁴ × 10⁻⁶ ?
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, donc 10⁴ × 10⁻⁶ = 10⁻².
Que vaut a⁰ pour a non nul ?
a⁰ = 1 par convention. Exemple : 7⁰ = 1.
La suite dans Réviz
4 autres questions, 4 autres flashcards, la carte mentale du chapitre, et ce qui coince qui revient au bon moment jusqu'au contrôle.
Ce que le programme attend
- Utiliser les puissances d'exposant entier relatif d'un nombre
- Appliquer les règles de calcul sur les puissances d'un même nombre
- Utiliser les puissances de 10 et les préfixes (nano à giga)
- Écrire un nombre en notation scientifique et comparer des ordres de grandeur
- Connaître la définition de la racine carrée d'un nombre positif
- Connaître les carrés parfaits de 1 à 144 et leurs racines carrées
Référence : Mathématiques cycle 4 (BO spécial n°11 du 26/11/2015, ajusté BO n°31 du 30/07/2020), repères annuels de progression 2019. Une erreur dans cette fiche ? Signale-la, elle sera corrigée.