Fiche de révision · Maths 3eNotion de fonction
1er trimestre · chapitre 5 sur 14
Une fonction transforme chaque nombre x en un unique nombre f(x).
L'essentiel à retenir
- f(a) = b : b est l'image de a, a est un antécédent de b.
- Un nombre a une seule image.
- Antécédent de b : résoudre f(x) = b.
- Trois représentations : formule, tableau, courbe.
- M(a ; b) est sur la courbe si f(a) = b.
La leçon
1. Qu'est-ce qu'une fonction ?
Une fonction est un processus qui, à un nombre x, associe un unique nombre. Elle peut être donnée par un programme de calcul, une formule, un tableau ou une courbe. À chaque nombre de départ correspond un seul résultat.
Exemple
Le programme « multiplier par 3, puis soustraire 1 » est une fonction : au nombre 4, il associe 3 × 4 − 1 = 11.
2. Les notations
Le nombre associé à x par la fonction f se note f(x). On écrit aussi f : x ↦ f(x), qui se lit « f qui à x associe f(x) ». La lettre x est la variable.
f : x ↦ f(x)
Exemple
f : x ↦ 3x − 1 se lit « f qui à x associe 3x − 1 » ; on a f(4) = 11.
3. Image et antécédent
Si f(a) = b, b est l'image de a par f, et a est un antécédent de b par f. Un nombre a une seule image. Un nombre peut n'avoir aucun antécédent, en avoir un seul ou plusieurs.
f(x) = x² − 3 ; f(2) = 1 et f(−2) = 1
Exemple
f(x) = x² − 3 : f(2) = 1 et f(−2) = 1. 1 est l'image de 2, et 1 a deux antécédents, 2 et −2. −5 n'a pas d'antécédent, car x² = −2 est impossible.
4. Trouver une image ou un antécédent
Avec une formule : pour une image, on remplace x par la valeur ; pour un antécédent de b, on résout l'équation f(x) = b. Avec un tableau : on lit l'image sous la valeur de x, ou l'antécédent au-dessus de la valeur de f(x). Avec une courbe : on lit graphiquement, ce qui donne des valeurs approchées ; le calcul donne des valeurs exactes.
Exemple
f(x) = 3x − 1. Image de 5 : f(5) = 14. Antécédent de 8 : 3x − 1 = 8, donc 3x = 9 et x = 3.
5. Construire la courbe à partir d'un tableau
La représentation graphique de f est l'ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)) dans un repère. On place les points du tableau de valeurs, puis on les relie par une courbe régulière, sans règle si ce n'est pas une droite.
Exemple
f(x) = x² − 3. Pour x = −2, −1, 0, 1, 2, on trouve f(x) = 1, −2, −3, −2, 1. On place (−2 ; 1), (−1 ; −2), (0 ; −3), (1 ; −2) et (2 ; 1), puis on les relie.
6. Passer d'une représentation à l'autre
De la formule au tableau, on calcule des images ; un tableur le fait avec une formule recopiée. Du tableau à la courbe, on place les points. Pour savoir si un point est sur la courbe, on calcule l'image de son abscisse et on la compare à son ordonnée.
M(a ; b) ∈ courbe de f ⇔ f(a) = b
Exemple
A(3 ; 6) est-il sur la courbe de f(x) = x² − 3 ? f(3) = 9 − 3 = 6 : oui. Dans un tableur, si x est en B1, on écrit =B1^2-3 en B2, puis on recopie vers la droite.
La méthode
Comment lire une image ou des antécédents sur une courbe
- Image de a : place a sur l'axe des abscisses (horizontal).
- Trace la verticale jusqu'à la courbe, puis lis l'ordonnée du point atteint : c'est f(a).
- Antécédents de b : place b sur l'axe des ordonnées (vertical) et trace l'horizontale.
- Lis les abscisses de tous les points où cette horizontale coupe la courbe.
- Écris tes résultats comme des valeurs approchées.
Pièges à éviter
- Ne confonds pas image et antécédent : dans f(2) = 5, 5 est l'image de 2, et 2 est un antécédent de 5.
- Un nombre peut avoir plusieurs antécédents : donne-les tous (par x ↦ x² − 3, 1 a pour antécédents 2 et −2).
- Pour lire une image, pars de l'axe des abscisses et lis sur l'axe des ordonnées ; pour un antécédent, fais l'inverse.
Vocabulaire
- Fonction
- Processus qui associe à chaque x un unique nombre f(x).
- Image
- Nombre f(x) obtenu à partir de x.
- Antécédent
- Nombre x de départ qui a pour image une valeur donnée.
- Tableau de valeurs
- Tableau qui donne des valeurs de x et leurs images f(x).
- Représentation graphique
- Ensemble des points (x ; f(x)) dans un repère.
Teste-toi
3 questions pour vérifier, corrigées tout de suite.
Flashcards
Essaie de répondre avant d'ouvrir la carte.
Qu'est-ce qu'une fonction ?
Un processus qui, à chaque nombre x, associe un unique nombre noté f(x).
Comment lit-on f : x ↦ 3x − 1 ?
« f est la fonction qui à x associe 3x − 1 ».
Si f(2) = 5, que représente 5 pour 2 ?
5 est l'image de 2 par f, et 2 est un antécédent de 5.
La suite dans Réviz
3 autres questions, 4 autres flashcards, la carte mentale du chapitre, et ce qui coince qui revient au bon moment jusqu'au contrôle.
Ce que le programme attend
- Comprendre une fonction comme un processus qui associe à un nombre un unique nombre
- Utiliser les notations f(x) et f : x ↦ f(x)
- Distinguer image et antécédent
- Déterminer une image ou un antécédent à partir d'une expression, d'un tableau de valeurs ou d'une courbe
- Construire la représentation graphique d'une fonction à partir d'un tableau de valeurs
- Passer d'un mode de représentation à un autre (formule, tableau, graphique)
Référence : Mathématiques cycle 4 (BO spécial n°11 du 26/11/2015, ajusté BO n°31 du 30/07/2020), repères annuels de progression 2019. Une erreur dans cette fiche ? Signale-la, elle sera corrigée.