Fiche de révision · Maths 3eÉquations et inéquations
1er trimestre · chapitre 4 sur 14
Résoudre une équation ou une inéquation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui conviennent.
L'essentiel à retenir
- On fait la même opération sur les deux membres.
- Produit nul : un des facteurs est nul.
- x² = a a deux solutions si a > 0, une si a = 0, aucune si a < 0.
- Multiplier ou diviser par un négatif change le sens d'une inégalité.
La leçon
1. Équations du premier degré
On ne change pas les solutions en ajoutant ou soustrayant un même nombre aux deux membres, ni en les multipliant ou divisant par un même nombre non nul. On regroupe les termes en x d'un côté et les nombres de l'autre, puis on isole x. On termine en vérifiant la solution.
5x − 3 = 2x + 9 ⇔ 3x = 12 ⇔ x = 4
Exemple
Vérification : pour x = 4, 5 × 4 − 3 = 17 et 2 × 4 + 9 = 17.
2. Équation produit nul
Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul. Pour (ax + b)(cx + d) = 0, on résout séparément chaque facteur égal à 0. On obtient en général deux solutions.
A × B = 0 ⇔ A = 0 ou B = 0
Exemple
(2x − 6)(x + 5) = 0 ⇔ 2x − 6 = 0 ou x + 5 = 0 ⇔ x = 3 ou x = −5.
3. Équation x² = a
Si a > 0, l'équation x² = a a deux solutions, √a et −√a. Si a = 0, une seule solution, 0. Si a < 0, aucune solution, car un carré n'est jamais négatif.
Exemple
x² = 16 a pour solutions 4 et −4 ; x² = −9 n'a pas de solution. x² − 25 = 0 s'écrit aussi (x − 5)(x + 5) = 0 : solutions 5 et −5.
4. Inéquations du premier degré
On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres sans changer le sens. Multiplier ou diviser par un nombre strictement positif conserve le sens ; par un nombre strictement négatif, on change le sens de l'inégalité. On représente les solutions sur une droite graduée : crochet tourné vers les solutions si la borne est incluse (≤ ou ≥), tourné vers l'extérieur sinon.
−2x ≤ 8 ⇔ x ≥ −4
Exemple
−3x + 2 > 11 ⇔ −3x > 9 ⇔ x < −3. Sur la droite graduée, on colorie la partie à gauche de −3, avec un crochet tourné vers l'extérieur en −3 (borne exclue).
5. Mettre un problème en équation
On choisit l'inconnue, on écrit l'équation, on la résout, on vérifie et on conclut par une phrase. On contrôle aussi que la solution est cohérente avec la situation : une longueur ou un âge ne peut pas être négatif.
Exemple
Un rectangle a un périmètre de 30 cm et sa longueur dépasse sa largeur de 3 cm. Largeur x : 2(x + x + 3) = 30 ; 4x + 6 = 30 ; x = 6. Largeur 6 cm, longueur 9 cm ; vérification : 2 × (6 + 9) = 30.
6. Tester si un nombre est solution
On remplace l'inconnue par le nombre et on calcule séparément chaque membre. Pour une équation, le nombre est solution si les deux résultats sont égaux. Pour une inéquation, il est solution si l'inégalité obtenue est vraie.
Exemple
−1 est-il solution de −3x + 2 > 11 ? −3 × (−1) + 2 = 5, et 5 > 11 est faux : −1 n'est pas solution.
La méthode
Comment résoudre une équation produit nul
- Vérifie qu'un membre est un produit et que l'autre vaut 0 ; sinon, factorise d'abord : x² − 25 = (x − 5)(x + 5).
- Écris « A = 0 ou B = 0 » avec chacun des facteurs.
- Résous chacune des deux équations du premier degré.
- Conclus en donnant toutes les solutions, puis vérifie-les dans l'équation de départ.
Pièges à éviter
- Diviser par un nombre négatif change le sens de l'inégalité : −3x > 9 donne x < −3, et non x > −3.
- x² = 16 a deux solutions : 4 et −4. N'oublie pas la solution négative.
- La propriété du produit nul ne marche qu'avec 0 : (x − 1)(x + 2) = 5 ne permet pas d'écrire x − 1 = 5 ou x + 2 = 5.
Vocabulaire
- Équation
- Égalité contenant une inconnue.
- Solution
- Valeur de l'inconnue qui rend l'égalité ou l'inégalité vraie.
- Membre
- Chacune des deux expressions de part et d'autre du signe =, < ou >.
- Équation produit nul
- Équation de la forme A × B = 0.
- Inéquation
- Inégalité (<, >, ≤, ≥) contenant une inconnue.
Teste-toi
3 questions pour vérifier, corrigées tout de suite.
Flashcards
Essaie de répondre avant d'ouvrir la carte.
Qu'est-ce qu'une solution d'une équation ?
Une valeur de l'inconnue qui rend l'égalité vraie. Exemple : 4 est solution de 2x + 1 = 9.
Quelles opérations ne changent pas les solutions d'une équation ?
Ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres, multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul.
Que dit la propriété du produit nul ?
Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.
La suite dans Réviz
4 autres questions, 4 autres flashcards, la carte mentale du chapitre, et ce qui coince qui revient au bon moment jusqu'au contrôle.
Ce que le programme attend
- Résoudre une équation du premier degré à une inconnue
- Résoudre une équation produit nul
- Résoudre une équation du type x² = a
- Résoudre une inéquation du premier degré et représenter ses solutions sur une droite graduée
- Mettre un problème en équation et vérifier la cohérence de la solution
- Tester si un nombre est solution d'une équation ou d'une inéquation
Référence : Mathématiques cycle 4 (BO spécial n°11 du 26/11/2015, ajusté BO n°31 du 30/07/2020), repères annuels de progression 2019. Une erreur dans cette fiche ? Signale-la, elle sera corrigée.