Fiche de révision · Maths 3eFonctions linéaires et affines
2e trimestre · chapitre 6 sur 14
Les fonctions affines se représentent par des droites et modélisent les situations où une grandeur varie régulièrement.
L'essentiel à retenir
- Linéaire : f(x) = ax, proportionnalité.
- Affine : f(x) = ax + b, droite.
- a : coefficient directeur ; b = f(0) : ordonnée à l'origine.
- a = (f(x₂) − f(x₁)) / (x₂ − x₁).
- Augmenter de t % : multiplier par 1 + t/100.
La leçon
1. Reconnaître une fonction linéaire ou affine
Une fonction linéaire s'écrit f(x) = ax, avec a fixé. Une fonction affine s'écrit f(x) = ax + b, avec a et b fixés. Une fonction linéaire est une fonction affine avec b = 0 ; si a = 0, la fonction affine est constante.
f(x) = ax + b
Exemple
f(x) = −4x est linéaire ; g(x) = 2x + 3 est affine ; h(x) = 5 est constante ; k(x) = x² + 1 n'est pas affine.
2. Fonction linéaire et proportionnalité
Une fonction linéaire f(x) = ax traduit une situation de proportionnalité de coefficient a. Les pourcentages d'évolution se traduisent par des fonctions linéaires : augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t/100 ; diminuer de t %, multiplier par 1 − t/100.
f(x) = ax
Exemple
Prix de x kg à 3 € le kg : f(x) = 3x. Une hausse de 20 % se traduit par f(x) = 1,2x ; une baisse de 10 % par g(x) = 0,9x.
3. Représenter graphiquement
La représentation graphique d'une fonction affine est une droite ; celle d'une fonction linéaire est une droite qui passe par l'origine du repère. Deux points suffisent pour la tracer : on choisit souvent x = 0 et une autre valeur.
Exemple
f(x) = 2x + 3 : f(0) = 3 et f(2) = 7. On place (0 ; 3) et (2 ; 7), puis on trace la droite.
4. Coefficient directeur et ordonnée à l'origine
b est l'ordonnée à l'origine, car f(0) = b : la droite coupe l'axe des ordonnées en b. a est le coefficient directeur : quand on avance de 1 vers la droite, on monte (ou descend) de a. Si a > 0 la droite monte, si a < 0 elle descend, si a = 0 elle est parallèle à l'axe des abscisses.
Exemple
g(x) = −x + 4 : la droite passe par (0 ; 4) et descend de 1 chaque fois qu'on avance de 1.
5. Trouver une fonction à partir de deux images
Les accroissements de f(x) sont proportionnels aux accroissements de x : leur quotient donne a. On trouve ensuite b en remplaçant x et f(x) par une des deux valeurs connues. Pour une fonction linéaire, une seule image suffit : a = f(x) ÷ x, avec x ≠ 0.
a = (f(x₂) − f(x₁)) / (x₂ − x₁)
Exemple
f(2) = 7 et f(5) = 13 : a = (13 − 7)/(5 − 2) = 2, puis b = 7 − 2 × 2 = 3, donc f(x) = 2x + 3.
6. Modéliser et comparer des offres
Un tarif avec un montant fixe et un prix unitaire est une fonction affine : le fixe est b, le prix unitaire est a. Pour comparer deux offres, on résout une équation ou une inéquation, ou on lit le point d'intersection des deux droites.
Exemple
Offre A : 15 € d'abonnement plus 2 € par séance, f(x) = 2x + 15. Offre B : 5 € la séance, g(x) = 5x. 2x + 15 = 5x donne x = 5 : avant 5 séances, B est moins chère ; au-delà, A est moins chère.
La méthode
Comment trouver f(x) = ax + b à partir de deux images
- Calcule a = (f(x₂) − f(x₁)) / (x₂ − x₁), en gardant le même ordre en haut et en bas.
- Remplace x et f(x) par une des valeurs connues dans f(x) = ax + b, puis résous pour trouver b.
- Écris la fonction : f(x) = 2x + 3 par exemple.
- Vérifie avec l'autre valeur : f(5) = 2 × 5 + 3 = 13.
Pièges à éviter
- Une droite qui ne passe pas par l'origine ne représente pas une fonction linéaire, mais une fonction affine avec b ≠ 0.
- Augmenter de 20 %, c'est multiplier par 1,2, et non par 0,2 ni ajouter 20.
- Dans le calcul de a, garde le même ordre : (13 − 7)/(5 − 2), et non (13 − 7)/(2 − 5), qui donnerait le mauvais signe.
Vocabulaire
- Fonction linéaire
- Fonction de la forme f(x) = ax.
- Fonction affine
- Fonction de la forme f(x) = ax + b.
- Fonction constante
- Fonction affine avec a = 0 : f(x) = b pour tout x.
- Coefficient directeur
- Nombre a, qui donne la pente de la droite.
- Ordonnée à l'origine
- Nombre b = f(0), où la droite coupe l'axe des ordonnées.
Teste-toi
3 questions pour vérifier, corrigées tout de suite.
Flashcards
Essaie de répondre avant d'ouvrir la carte.
Quelle est la forme d'une fonction linéaire ?
f(x) = ax, avec a un nombre fixé. Exemple : f(x) = 3x.
Quelle est la forme d'une fonction affine ?
f(x) = ax + b, avec a et b des nombres fixés. Exemple : f(x) = 2x + 3.
Quelle est la représentation graphique d'une fonction linéaire ?
Une droite qui passe par l'origine du repère.
La suite dans Réviz
4 autres questions, 4 autres flashcards, la carte mentale du chapitre, et ce qui coince qui revient au bon moment jusqu'au contrôle.
Ce que le programme attend
- Reconnaître une fonction linéaire f(x) = ax et une fonction affine f(x) = ax + b
- Faire le lien entre fonction linéaire et proportionnalité
- Représenter graphiquement une fonction linéaire ou affine par une droite
- Interpréter le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine
- Déterminer une fonction linéaire ou affine à partir de deux nombres et de leurs images
- Modéliser une situation (tarifs, trajets) par une fonction affine et comparer des offres
Référence : Mathématiques cycle 4 (BO spécial n°11 du 26/11/2015, ajusté BO n°31 du 30/07/2020), repères annuels de progression 2019. Une erreur dans cette fiche ? Signale-la, elle sera corrigée.