Fiche de révision · Maths 3eProportionnalité, pourcentages et grandeurs composées
2e trimestre · chapitre 7 sur 14
La proportionnalité permet de calculer des pourcentages, des échelles, des ratios et des grandeurs comme la vitesse.
L'essentiel à retenir
- Proportionnalité : un même coefficient multiplicateur.
- Évolution de t % : multiplier par 1 ± t/100.
- Évolutions successives : on multiplie les coefficients.
- v = d / t, avec des durées en écriture décimale.
- 1 m/s = 3,6 km/h.
La leçon
1. Reconnaître la proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on passe des valeurs de l'une à celles de l'autre en multipliant toujours par un même nombre non nul, le coefficient de proportionnalité. Dans un tableau, tous les quotients sont alors égaux. Graphiquement, les points sont alignés avec l'origine du repère ; sinon, il n'y a pas proportionnalité.
Exemple
Tableau 2 → 5 ; 4 → 10 ; 6 → 15 : 5/2 = 10/4 = 15/6 = 2,5. C'est une situation de proportionnalité de coefficient 2,5.
2. Calculer une quatrième proportionnelle
On peut utiliser le coefficient de proportionnalité, la linéarité (additionner ou multiplier des colonnes) ou le produit en croix. Le produit en croix marche dans tous les cas.
a/b = c/d ⇔ a × d = b × c
Exemple
3 cahiers coûtent 4,50 €. Prix de 7 cahiers : coefficient 4,50 ÷ 3 = 1,50, donc 7 × 1,50 = 10,50 €. Par produit en croix : 4,50 × 7 ÷ 3 = 10,50 €.
3. Pourcentages et évolutions
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t/100. Une hausse de t % multiplie par 1 + t/100, une baisse par 1 − t/100. Deux évolutions successives se composent en multipliant les coefficients. Pour trouver une évolution en pourcentage, on divise la valeur finale par la valeur initiale : on obtient le coefficient multiplicateur.
Prix final = prix initial × (1 − t/100)
Exemple
15 % de 80 € = 12 €. 80 € baissé de 15 % : 80 × 0,85 = 68 €. Un prix qui passe de 50 € à 60 € : 60 ÷ 50 = 1,2, soit une hausse de 20 %.
4. Partager selon un ratio
Partager selon le ratio 2 : 3, c'est donner 2 parts égales à l'un et 3 à l'autre. On additionne les nombres du ratio pour trouver le nombre total de parts, puis on calcule la valeur d'une part.
Exemple
Partager 60 selon le ratio 2 : 3 : 2 + 3 = 5 parts de 60 ÷ 5 = 12, soit 2 × 12 = 24 et 3 × 12 = 36.
5. Grandeurs composées
Une grandeur quotient se calcule par une division : vitesse (km/h), débit (L/min), masse volumique (g/cm³), prix au kilo (€/kg). Une grandeur produit se calcule par une multiplication : énergie en kWh (puissance × durée). Pour la vitesse, v = d / t, donc d = v × t et t = d / v, avec des durées en écriture décimale.
v = d / t
Exemple
150 km en 1,5 h donnent 100 km/h. 90 km/h = 25 m/s. Un appareil de 2 kW qui fonctionne 3 h consomme 2 × 3 = 6 kWh.
6. Utiliser une échelle
L'échelle est le quotient de la distance sur le plan par la distance réelle, exprimées dans la même unité. Les distances sur le plan sont proportionnelles aux distances réelles.
échelle = distance sur le plan ÷ distance réelle
Exemple
À l'échelle 1/25 000, 1 cm sur la carte représente 25 000 cm, soit 250 m. 6 cm sur un plan pour 3 km réels : 3 km = 300 000 cm, donc l'échelle est 6/300 000 = 1/50 000.
La méthode
Comment convertir une vitesse de km/h en m/s
- Écris la vitesse comme un quotient : 90 km/h, c'est 90 km parcourus en 1 h.
- Convertis chaque unité : 90 km = 90 000 m et 1 h = 3 600 s.
- Divise : 90 000 ÷ 3 600 = 25, donc 90 km/h = 25 m/s.
- Retiens le raccourci : de km/h vers m/s, on divise par 3,6 ; de m/s vers km/h, on multiplie par 3,6.
Pièges à éviter
- 1 h 15 min vaut 1,25 h, et non 1,15 h : 15 min, c'est un quart d'heure.
- Une hausse de 10 % puis une baisse de 10 % ne ramènent pas au prix de départ : 1,1 × 0,9 = 0,99, soit une baisse de 1 %.
- Avec une échelle, convertis avant de conclure : à 1/25 000, 1 cm représente 25 000 cm, soit 250 m, et non 25 000 m.
Vocabulaire
- Coefficient de proportionnalité
- Nombre par lequel on multiplie une grandeur pour obtenir l'autre.
- Coefficient multiplicateur
- Nombre 1 ± t/100 qui traduit une évolution de t %.
- Ratio
- Rapport de partage entre plusieurs quantités, comme 2 : 3.
- Grandeur quotient
- Grandeur obtenue en divisant deux grandeurs, comme une vitesse.
- Grandeur produit
- Grandeur obtenue en multipliant deux grandeurs, comme une énergie en kWh.
- Échelle
- Distance sur le plan divisée par la distance réelle.
Teste-toi
3 questions pour vérifier, corrigées tout de suite.
Flashcards
Essaie de répondre avant d'ouvrir la carte.
Quand deux grandeurs sont-elles proportionnelles ?
Quand on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre, le coefficient de proportionnalité.
À quoi ressemble le graphique d'une situation de proportionnalité ?
À des points alignés avec l'origine du repère.
Par quel nombre multiplie-t-on pour augmenter un prix de 15 % ?
Par 1 + 15/100 = 1,15.
La suite dans Réviz
4 autres questions, 4 autres flashcards, la carte mentale du chapitre, et ce qui coince qui revient au bon moment jusqu'au contrôle.
Ce que le programme attend
- Reconnaître une situation de proportionnalité ou de non-proportionnalité
- Calculer une quatrième proportionnelle (produit en croix, coefficient, linéarité)
- Appliquer et calculer un pourcentage, une évolution en pourcentage
- Utiliser des ratios pour partager une quantité
- Calculer avec des grandeurs composées (vitesse, débit, masse volumique) et convertir leurs unités
- Utiliser l'échelle d'un plan ou d'une carte
Référence : Mathématiques cycle 4 (BO spécial n°11 du 26/11/2015, ajusté BO n°31 du 30/07/2020), repères annuels de progression 2019. Une erreur dans cette fiche ? Signale-la, elle sera corrigée.