Fiche de révision · Maths 3eThéorème de Thalès et sa réciproque
2e trimestre · chapitre 8 sur 14
Deux parallèles qui coupent deux droites sécantes créent deux triangles dont les longueurs sont proportionnelles.
L'essentiel à retenir
- AM/AB = AN/AC = MN/BC si (MN) // (BC).
- Thalès : calculer une longueur.
- Réciproque : prouver un parallélisme.
- Contraposée : prouver un non-parallélisme.
- Toujours vérifier l'ordre des points alignés.
La leçon
1. Reconnaître une configuration de Thalès
Il faut deux droites (BM) et (CN) sécantes en A, coupées par deux droites parallèles (MN) et (BC). La configuration est emboîtée quand M est sur [AB] et N sur [AC]. Elle est en papillon quand A est entre B et M, et entre C et N.
2. Calculer une longueur
Si (BM) et (CN) sont sécantes en A et si (MN) est parallèle à (BC), alors les longueurs du triangle AMN sont proportionnelles à celles du triangle ABC. On écrit l'égalité des trois quotients, puis on garde les deux quotients utiles et on calcule par produit en croix.
AM/AB = AN/AC = MN/BC
Exemple
AM = 3, AB = 5, BC = 7 et (MN) // (BC) : 3/5 = MN/7, donc MN = 7 × 3/5 = 4,2.
3. La réciproque : prouver un parallélisme
Si les points A, M, B d'une part et A, N, C d'autre part sont alignés dans le même ordre, et si AM/AB = AN/AC, alors (MN) est parallèle à (BC). La condition sur l'ordre des points est indispensable.
Exemple
AM = 2,4 ; AB = 4 ; AN = 3 ; AC = 5 : AM/AB = 0,6 et AN/AC = 0,6. Les points sont alignés dans le même ordre, donc (MN) // (BC).
4. La contraposée : prouver un non-parallélisme
Si les points A, M, B d'une part et A, N, C d'autre part sont alignés, et si AM/AB ≠ AN/AC, alors (MN) et (BC) ne sont pas parallèles. Pour comparer les deux quotients, on calcule chacun en valeur exacte, ou on compare les produits en croix.
Exemple
AM = 2, AB = 5, AN = 3, AC = 7 : AM × AC = 14 et AB × AN = 15. Comme 14 ≠ 15, AM/AB ≠ AN/AC : (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.
5. Rédiger une démonstration
On cite d'abord les hypothèses (droites sécantes, parallélisme ou alignement), puis la propriété utilisée, enfin la conclusion. On nomme toujours l'énoncé : le théorème, sa réciproque ou sa contraposée.
Exemple
« Les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A et (MN) // (BC). D'après le théorème de Thalès, AM/AB = AN/AC = MN/BC, donc 3/5 = MN/7 et MN = 4,2. »
6. Triangles semblables, agrandissement et réduction
La configuration de Thalès donne deux triangles semblables : mêmes angles et longueurs proportionnelles. Le rapport k = AM/AB permet de passer du triangle ABC au triangle AMN. C'est un rapport de réduction si k < 1, d'agrandissement si k > 1.
MN = k × BC
Exemple
Avec AM = 3 et AB = 5, k = 0,6 : AMN est une réduction de ABC, et MN = 0,6 × 7 = 4,2.
La méthode
Comment savoir si deux droites sont parallèles
- Vérifie que A, M, B d'une part et A, N, C d'autre part sont alignés dans le même ordre.
- Calcule séparément AM/AB et AN/AC en valeurs exactes, ou compare les produits en croix AM × AC et AB × AN.
- S'ils sont égaux : d'après la réciproque du théorème de Thalès, (MN) // (BC).
- S'ils sont différents : d'après la contraposée du théorème de Thalès, (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.
Pièges à éviter
- Ne mélange pas les côtés : AM/MB n'est pas un quotient de Thalès, car [MB] n'est pas un côté du triangle ABC. Écris AM/AB.
- Pour la réciproque, vérifie l'ordre des points : sans cette condition, des quotients égaux ne prouvent pas le parallélisme.
- Compare des valeurs exactes : deux quotients arrondis peuvent sembler égaux sans l'être.
Vocabulaire
- Configuration de Thalès
- Deux droites sécantes coupées par deux droites parallèles.
- Configuration en papillon
- Configuration où le point A est entre B et M, et entre C et N.
- Réciproque
- Énoncé qui inverse hypothèse et conclusion d'un théorème.
- Contraposée
- Si la conclusion est fausse, l'hypothèse l'est aussi.
- Triangles semblables
- Triangles de mêmes angles, aux longueurs proportionnelles.
Teste-toi
3 questions pour vérifier, corrigées tout de suite.
Flashcards
Essaie de répondre avant d'ouvrir la carte.
Que dit le théorème de Thalès ?
Si (BM) et (CN) sont sécantes en A et si (MN) // (BC), alors AM/AB = AN/AC = MN/BC.
Quelles sont les deux configurations de Thalès ?
Les triangles emboîtés (M sur [AB], N sur [AC]) et la configuration en papillon (A entre B et M, et entre C et N).
À quoi sert la réciproque du théorème de Thalès ?
À démontrer que deux droites sont parallèles.
La suite dans Réviz
4 autres questions, 4 autres flashcards, la carte mentale du chapitre, et ce qui coince qui revient au bon moment jusqu'au contrôle.
Ce que le programme attend
- Reconnaître une configuration de Thalès (triangles emboîtés ou en papillon)
- Calculer une longueur avec le théorème de Thalès
- Démontrer que deux droites sont parallèles avec la réciproque du théorème de Thalès
- Démontrer que deux droites ne sont pas parallèles avec la contraposée
- Rédiger une démonstration en citant hypothèses, propriété et conclusion
- Faire le lien entre configuration de Thalès, triangles semblables et agrandissement-réduction
Référence : Mathématiques cycle 4 (BO spécial n°11 du 26/11/2015, ajusté BO n°31 du 30/07/2020), repères annuels de progression 2019. Une erreur dans cette fiche ? Signale-la, elle sera corrigée.