Fiche de révision · Maths 5eMédiatrices, hauteurs, médianes et aire du triangle
2e trimestre · chapitre 7 sur 14
Médiatrices, hauteurs et médianes sont trois familles de droites du triangle qui ont chacune leur rôle, et la hauteur sert à calculer l'aire.
L'essentiel à retenir
- Médiatrice : perpendiculaire en son milieu.
- Médiatrices concourantes : centre du cercle circonscrit.
- Hauteur : perpendiculaire au côté opposé.
- Aire du triangle : base × hauteur ÷ 2.
- Une médiane partage le triangle en deux triangles de même aire.
La leçon
1. La médiatrice d'un segment
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe par son milieu. Propriété caractéristique : un point est sur la médiatrice de [AB] si et seulement s'il est à égale distance de A et de B.
Exemple
M est sur la médiatrice de [AB] et MA = 4 cm, donc MB = 4 cm.
2. Médiatrices et cercle circonscrit
Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes : elles se coupent en un même point O. Ce point est équidistant des trois sommets : c'est le centre du cercle circonscrit, qui passe par les trois sommets. Deux médiatrices suffisent pour le trouver.
Exemple
On trace les médiatrices de [AB] et de [AC] ; elles se coupent en O. Le cercle de centre O et de rayon OA passe par A, B et C.
3. Les hauteurs d'un triangle
Une hauteur est la droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé, ou à son prolongement. Le point d'intersection avec ce côté est le pied de la hauteur. Un triangle a trois hauteurs ; dans un triangle obtus, deux d'entre elles tombent à l'extérieur du triangle.
Exemple
Dans un triangle ABC rectangle en A, les droites (AB) et (AC) sont deux des hauteurs.
4. Les médianes d'un triangle
Une médiane est la droite, ou le segment, qui joint un sommet au milieu du côté opposé. Pour la tracer, on place d'abord le milieu du côté, puis on le relie au sommet opposé. Un triangle a trois médianes.
Exemple
Si I est le milieu de [BC], la médiane issue de A est (AI).
5. L'aire d'un triangle
Un triangle est la moitié d'un rectangle de même base et de même hauteur. La hauteur utilisée est la longueur du segment perpendiculaire à la base issu du sommet opposé. Les longueurs doivent être dans la même unité, et l'aire s'exprime en unités carrées.
A = base × hauteur ÷ 2
Exemple
Base 6 cm et hauteur 0,4 dm = 4 cm : A = 6 × 4 ÷ 2 = 12 cm².
6. Une médiane partage l'aire en deux
Une médiane coupe le côté opposé en deux moitiés égales. Les deux triangles obtenus ont donc des bases égales et la même hauteur, issue du sommet commun. Comme l'aire ne dépend que de la base et de la hauteur, une médiane partage le triangle en deux triangles de même aire.
Exemple
BC = 10 cm et la hauteur issue de A mesure 6 cm : ABC a une aire de 30 cm². Avec I milieu de [BC], ABI et AIC ont chacun 5 × 6 ÷ 2 = 15 cm².
La méthode
Comment calculer l'aire d'un triangle
- Choisis un côté comme base.
- Repère la hauteur associée : le segment issu du sommet opposé, perpendiculaire à cette base (parfois à l'extérieur du triangle).
- Vérifie que la base et la hauteur sont dans la même unité.
- Calcule base × hauteur ÷ 2 et écris l'unité carrée : 8 × 5 ÷ 2 = 20 cm².
Pièges à éviter
- Ne confonds pas les droites : la hauteur passe par un sommet et est perpendiculaire au côté opposé, la médiane passe par un sommet et le milieu du côté opposé, la médiatrice passe par le milieu et est perpendiculaire au côté.
- N'oublie pas de diviser par 2 : base × hauteur donne l'aire du rectangle, pas celle du triangle.
- La hauteur n'est pas un côté oblique du triangle : prends le segment perpendiculaire à la base, sauf dans un triangle rectangle où un côté de l'angle droit est une hauteur.
Vocabulaire
- Médiatrice
- Droite perpendiculaire à un segment en son milieu.
- Concourantes
- Se dit de droites qui passent par un même point.
- Cercle circonscrit
- Cercle qui passe par les trois sommets du triangle.
- Hauteur
- Droite issue d'un sommet, perpendiculaire au côté opposé.
- Pied de la hauteur
- Point où la hauteur coupe le côté opposé ou son prolongement.
- Médiane
- Droite qui joint un sommet au milieu du côté opposé.
Teste-toi
3 questions pour vérifier, corrigées tout de suite.
Flashcards
Essaie de répondre avant d'ouvrir la carte.
Qu'est-ce que la médiatrice d'un segment ?
La droite perpendiculaire au segment qui passe par son milieu.
Quelle propriété ont les points de la médiatrice de [AB] ?
Ils sont à égale distance de A et de B.
Où se trouve le centre du cercle circonscrit à un triangle ?
Au point de concours des trois médiatrices des côtés.
La suite dans Réviz
4 autres questions, 4 autres flashcards, la carte mentale du chapitre, et ce qui coince qui revient au bon moment jusqu'au contrôle.
Ce que le programme attend
- Connaître la médiatrice d'un segment et sa propriété caractéristique (équidistance)
- Savoir que les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes au centre du cercle circonscrit et construire ce cercle
- Définir et tracer les hauteurs d'un triangle
- Définir et tracer les médianes d'un triangle
- Calculer l'aire d'un triangle : base × hauteur ÷ 2
- Justifier qu'une médiane partage un triangle en deux triangles de même aire
Référence : Mathématiques cycle 4, programme de 5e (arrêté du 18 février 2026, BO n°10 du 5 mars 2026). Une erreur dans cette fiche ? Signale-la, elle sera corrigée.