Fiche de révision · Maths 4eTriangles semblables
2e trimestre · chapitre 6 sur 14
Deux triangles semblables ont la même forme : mêmes angles et longueurs proportionnelles.
L'essentiel à retenir
- Semblables : angles deux à deux égaux.
- Deux angles égaux suffisent.
- Côtés proportionnels : triangles semblables.
- Le plus grand côté va avec le plus grand.
- k > 1 agrandissement, 0 < k < 1 réduction.
La leçon
1. Définition
Deux triangles sont semblables lorsque leurs angles sont deux à deux de même mesure. Ils ont la même forme, mais pas forcément la même taille.
Exemple
Deux triangles équilatéraux de tailles différentes sont semblables : leurs angles mesurent tous 60°.
2. Reconnaître par les angles
Comme la somme des angles d'un triangle vaut 180°, deux angles égaux entraînent un troisième angle égal. Il suffit donc de vérifier deux angles. Un seul angle égal ne suffit pas.
angle 3 = 180° − angle 1 − angle 2
Exemple
Un triangle d'angles 50° et 60°, et un triangle d'angles 60° et 70° : le troisième angle vaut 70° dans le premier, 50° dans le second. Les deux ont des angles de 50°, 60° et 70° : ils sont semblables.
3. Reconnaître par les longueurs
Si deux triangles sont semblables, les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles, et réciproquement. On range les côtés de chaque triangle du plus petit au plus grand, puis on compare les trois quotients.
DE/AB = EF/BC = DF/AC = k
Exemple
ABC de côtés 3, 4, 5 et DEF de côtés 6, 8, 10 : 6/3 = 8/4 = 10/5 = 2. Les quotients sont égaux, les triangles sont semblables.
4. Sommets et côtés homologues
Les sommets homologues sont les sommets des angles égaux. Les côtés homologues sont opposés aux angles égaux. Le plus grand côté de l'un correspond au plus grand côté de l'autre, et le plus petit au plus petit.
Exemple
Si l'angle en A est égal à l'angle en D, et l'angle en B à l'angle en E, alors A et D, B et E, C et F sont homologues. Le côté [BC], opposé à A, correspond au côté [EF], opposé à D.
5. Calculer une longueur
Le rapport k s'obtient en divisant une longueur du second triangle par la longueur homologue du premier. Pour passer du premier triangle au second, on multiplie par k. Pour revenir au premier, on divise par k.
Exemple
ABC et A'B'C' sont semblables avec A'B'/AB = 1,5. Si BC = 6 cm, alors B'C' = 6 × 1,5 = 9 cm.
6. Agrandissement et réduction
Le rapport k multiplie toutes les longueurs. Si k > 1, c'est un agrandissement ; si 0 < k < 1, une réduction ; si k = 1, les triangles sont égaux (superposables). Deux triangles égaux sont semblables, mais deux triangles semblables ne sont pas forcément égaux.
Exemple
DEF (6, 8, 10) est un agrandissement de ABC (3, 4, 5) de rapport 2 ; ABC est une réduction de DEF de rapport 0,5.
La méthode
Comment calculer une longueur avec des triangles semblables
- Justifie que les triangles sont semblables : « Les triangles ABC et DEF ont deux angles égaux, donc ils sont semblables. »
- Repère les sommets homologues (sommets des angles égaux), puis associe les côtés homologues.
- Calcule le rapport k avec deux côtés homologues dont tu connais les longueurs.
- Multiplie par k pour aller vers le second triangle, divise par k pour revenir au premier.
Pièges à éviter
- N'associe pas les côtés dans l'ordre des lettres : repère les angles égaux, ou associe le plus grand côté au plus grand.
- Un seul angle égal ne suffit pas : il faut deux angles égaux pour conclure que les triangles sont semblables.
- Semblables ne veut pas dire égaux : les triangles ont les mêmes angles, mais leurs longueurs peuvent être différentes.
Vocabulaire
- Triangles semblables
- Triangles qui ont leurs angles deux à deux égaux.
- Sommets homologues
- Sommets des angles égaux de deux triangles semblables.
- Côtés homologues
- Côtés qui se correspondent, opposés à des angles égaux.
- Rapport
- Nombre k par lequel on multiplie les longueurs d'un triangle pour obtenir l'autre.
- Agrandissement
- Transformation qui multiplie les longueurs par k > 1.
- Réduction
- Transformation qui multiplie les longueurs par k compris entre 0 et 1.
Teste-toi
3 questions pour vérifier, corrigées tout de suite.
Flashcards
Essaie de répondre avant d'ouvrir la carte.
Quand dit-on que deux triangles sont semblables ?
Quand leurs angles sont deux à deux de même mesure.
Combien d'angles égaux suffit-il de vérifier ?
Deux, car le troisième s'en déduit : la somme des angles d'un triangle vaut 180°.
Que peut-on dire des côtés de deux triangles semblables ?
Leurs longueurs sont proportionnelles.
La suite dans Réviz
3 autres questions, 4 autres flashcards, la carte mentale du chapitre, et ce qui coince qui revient au bon moment jusqu'au contrôle.
Ce que le programme attend
- Définir des triangles semblables (angles deux à deux égaux)
- Reconnaître des triangles semblables à partir de leurs angles
- Reconnaître des triangles semblables à partir de la proportionnalité de leurs longueurs
- Identifier les sommets et côtés homologues de deux triangles semblables
- Calculer une longueur à l'aide du rapport de proportionnalité
- Relier triangles semblables, agrandissement et réduction
Référence : Mathématiques cycle 4 (BO spécial n°11 du 26/11/2015, ajusté BO n°31 du 30/07/2020), repères annuels de progression 2019. Une erreur dans cette fiche ? Signale-la, elle sera corrigée.