Fiche de révision · Maths 4eProbabilités
3e trimestre · chapitre 12 sur 14
Une probabilité mesure la chance qu'un événement se réalise, par un nombre entre 0 et 1.
L'essentiel à retenir
- Issue : un résultat possible ; événement : un ensemble d'issues.
- Probabilité entre 0 et 1.
- Impossible : 0 ; certain : 1.
- Équiprobabilité : favorables ÷ total.
- P(non A) = 1 − P(A).
La leçon
1. Le vocabulaire
Une expérience aléatoire a plusieurs résultats possibles, les issues, et on ne peut pas prévoir lequel se produira. Un événement est un ensemble d'issues ; il est élémentaire s'il ne contient qu'une issue.
Exemple
Lancer d'un dé à 6 faces : les issues sont 1, 2, 3, 4, 5, 6. L'événement « obtenir un nombre pair » est réalisé par 2, 4 et 6 ; « obtenir 5 » est un événement élémentaire.
2. Reconnaître l'équiprobabilité
Il y a équiprobabilité quand toutes les issues ont la même probabilité. C'est le cas avec un dé équilibré, une pièce équilibrée ou un tirage au hasard de boules indiscernables au toucher. Avec un dé truqué, ce n'est plus le cas.
Exemple
Urne de 3 boules rouges et 5 vertes : chaque boule a la même chance d'être tirée, mais les couleurs « rouge » et « verte » n'ont pas la même probabilité.
3. Calculer une probabilité
En situation d'équiprobabilité, on divise le nombre d'issues favorables à l'événement par le nombre total d'issues. Le résultat s'écrit sous forme de fraction, de décimal ou de pourcentage.
P(A) = nombre d'issues favorables ÷ nombre total d'issues
Exemple
Dé équilibré : P(« obtenir un nombre pair ») = 3/6 = 1/2 = 0,5 = 50 %. Urne de 3 boules rouges et 5 vertes : P(rouge) = 3/8.
4. Propriétés d'une probabilité
Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1. Un événement impossible a une probabilité 0, un événement certain une probabilité 1. La somme des probabilités de toutes les issues d'une expérience vaut 1.
0 ≤ P(A) ≤ 1
Exemple
Avec un dé à 6 faces : P(« obtenir 7 ») = 0 et P(« obtenir un nombre entre 1 et 6 ») = 1.
5. L'événement contraire
L'événement contraire de A, noté « non A », est réalisé exactement quand A ne l'est pas. A et non A sont incompatibles : ils ne peuvent pas se réaliser en même temps. Leurs probabilités ont pour somme 1.
P(non A) = 1 − P(A)
Exemple
Dé équilibré : P(« obtenir 6 ») = 1/6, donc P(« ne pas obtenir 6 ») = 1 − 1/6 = 5/6.
6. Fréquence et probabilité
Quand on répète un très grand nombre de fois une expérience, la fréquence observée d'un événement se rapproche de sa probabilité. Sur peu d'essais, elle peut en être assez loin. Chaque lancer est indépendant des précédents.
Exemple
Un dé équilibré lancé 600 fois donne le 6 environ 100 fois (600 × 1/6), rarement exactement 100.
La méthode
Comment calculer une probabilité
- Liste toutes les issues de l'expérience.
- Vérifie qu'elles sont équiprobables (dé ou pièce équilibré, tirage au hasard).
- Compte les issues favorables à l'événement.
- Divise par le nombre total d'issues, puis simplifie.
- Contrôle que le résultat est compris entre 0 et 1.
Pièges à éviter
- Après cinq « pile » avec une pièce équilibrée, « face » n'est pas plus probable : chaque lancer est indépendant, P(face) reste 1/2.
- Une probabilité n'est jamais plus grande que 1 : si tu trouves 8/3, tu as inversé issues favorables et nombre total d'issues.
- Ne confonds pas fréquence observée et probabilité : 6 « pile » sur 10 lancers donnent une fréquence de 0,6, mais la probabilité reste 1/2.
Vocabulaire
- Expérience aléatoire
- Expérience dont on connaît les résultats possibles sans pouvoir prévoir lequel se produira.
- Issue
- Résultat possible d'une expérience aléatoire.
- Événement
- Ensemble d'issues d'une expérience aléatoire.
- Équiprobabilité
- Situation où toutes les issues ont la même probabilité.
- Événement contraire
- Pour un événement A, événement « non A » réalisé exactement quand A ne l'est pas.
- Événements incompatibles
- Événements qui ne peuvent pas se réaliser en même temps.
Teste-toi
3 questions pour vérifier, corrigées tout de suite.
Flashcards
Essaie de répondre avant d'ouvrir la carte.
Qu'est-ce qu'une expérience aléatoire ?
Une expérience dont on connaît les résultats possibles, appelés issues, sans pouvoir prévoir lequel se produira.
Qu'est-ce qu'un événement ?
Un ensemble d'issues. « Obtenir un nombre pair » avec un dé est réalisé par 2, 4 et 6.
Entre quelles valeurs se situe une probabilité ?
Entre 0 (événement impossible) et 1 (événement certain).
La suite dans Réviz
4 autres questions, 4 autres flashcards, la carte mentale du chapitre, et ce qui coince qui revient au bon moment jusqu'au contrôle.
Ce que le programme attend
- Utiliser le vocabulaire : expérience aléatoire, issue, événement, événement élémentaire
- Reconnaître une situation d'équiprobabilité
- Calculer la probabilité d'un événement dans une situation d'équiprobabilité
- Connaître les propriétés : probabilité entre 0 et 1, événement certain, impossible
- Calculer la probabilité de l'événement contraire
- Relier fréquence observée et probabilité lors de nombreuses répétitions
Référence : Mathématiques cycle 4 (BO spécial n°11 du 26/11/2015, ajusté BO n°31 du 30/07/2020), repères annuels de progression 2019. Une erreur dans cette fiche ? Signale-la, elle sera corrigée.