Fiche de révision · Maths 4eOpérations sur les fractions
1er trimestre · chapitre 2 sur 14
Chaque opération sur les fractions a sa règle : même dénominateur pour additionner, produits directs pour multiplier, inverse pour diviser.
L'essentiel à retenir
- a/b = (a × k)/(b × k), avec k ≠ 0.
- Addition : même dénominateur obligatoire.
- Multiplication : numérateurs ensemble, dénominateurs ensemble.
- Inverse de a/b : b/a.
- Diviser = multiplier par l'inverse.
La leçon
1. Simplifier et comparer
On ne change pas une fraction en multipliant ou en divisant son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul. Pour simplifier, on divise les deux par un diviseur commun, jusqu'à obtenir une fraction irréductible. Pour comparer deux fractions, on les écrit avec le même dénominateur, puis on compare les numérateurs.
a/b = (a × k)/(b × k)
Exemple
18/24 = (6 × 3)/(6 × 4) = 3/4. Comparer 2/3 et 3/4 : 2/3 = 8/12 et 3/4 = 9/12, donc 2/3 < 3/4.
2. Additionner et soustraire
On écrit les fractions avec un dénominateur commun, puis on additionne ou soustrait les numérateurs. Le dénominateur ne change pas. Un bon dénominateur commun est un multiple commun des deux dénominateurs.
a/c + b/c = (a + b)/c
Exemple
2/3 + 3/4 = 8/12 + 9/12 = 17/12 ; 5/6 − 1/4 = 10/12 − 3/12 = 7/12.
3. Multiplier et prendre une fraction d'une quantité
On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, sans chercher de dénominateur commun. On simplifie de préférence avant de calculer. Prendre une fraction d'une quantité revient à multiplier.
(a/b) × (c/d) = (a × c)/(b × d)
Exemple
3/5 × 10/9 = (3 × 2 × 5)/(5 × 3 × 3) = 2/3. Les 3/4 de 20 € valent 3/4 × 20 = 15 €.
4. Inverse et division
L'inverse de a/b (a et b non nuls) est b/a, car leur produit vaut 1. L'inverse d'un entier n non nul est 1/n. Pour diviser par une fraction non nulle, on multiplie par son inverse.
(a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c)
Exemple
L'inverse de 2/7 est 7/2 ; l'inverse de 5 est 1/5. 3/4 ÷ 5/2 = 3/4 × 2/5 = 6/20 = 3/10.
5. Signes et priorités
La règle des signes s'applique aux fractions comme aux relatifs. Les multiplications et divisions passent avant les additions et soustractions. On simplifie le résultat final.
Exemple
−2/3 × 9/4 = −18/12 = −3/2. 1/2 + 1/2 × 1/3 = 1/2 + 1/6 = 3/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3.
6. Résoudre un problème
On repère l'opération : « les 2/3 de » se traduit par une multiplication, des parts qui se cumulent par une addition. Le tout correspond à la fraction 1. On répond par une phrase et on vérifie que le résultat a du sens.
Exemple
Léa dépense 1/4 de son argent en livres et 1/3 en sorties. Elle a dépensé 1/4 + 1/3 = 3/12 + 4/12 = 7/12 de son argent. Il lui reste 1 − 7/12 = 5/12.
La méthode
Comment calculer une expression avec des fractions
- Repère les priorités : multiplications et divisions d'abord.
- Remplace chaque division par la multiplication par l'inverse.
- Pour multiplier, simplifie avant de calculer.
- Pour additionner ou soustraire, réduis au même dénominateur.
- Simplifie le résultat jusqu'à obtenir une fraction irréductible.
Pièges à éviter
- 2/3 + 3/4 ne vaut pas 5/7 : on n'additionne jamais les dénominateurs, on réduit d'abord au même dénominateur.
- Pour diviser, on prend l'inverse de la fraction qui divise, pas de la première : 3/4 ÷ 5/2 = 3/4 × 2/5.
- Dans 1/2 + 1/2 × 1/3, la multiplication passe avant l'addition : le résultat est 2/3, pas 1/3.
Vocabulaire
- Numérateur
- Nombre au-dessus du trait de fraction.
- Dénominateur
- Nombre sous le trait de fraction, jamais égal à 0.
- Dénominateur commun
- Multiple commun des dénominateurs, utilisé pour additionner ou comparer.
- Fraction irréductible
- Fraction qu'on ne peut plus simplifier.
- Inverse
- Nombre dont le produit avec la fraction vaut 1.
Teste-toi
3 questions pour vérifier, corrigées tout de suite.
Flashcards
Essaie de répondre avant d'ouvrir la carte.
Comment additionner deux fractions de dénominateurs différents ?
On les réduit au même dénominateur, puis on additionne les numérateurs. 2/3 + 3/4 = 8/12 + 9/12 = 17/12.
Quelle propriété permet d'écrire une fraction autrement ?
Multiplier ou diviser numérateur et dénominateur par un même nombre non nul : 18/24 = 3/4.
Comment multiplier deux fractions ?
Numérateur fois numérateur, dénominateur fois dénominateur : (a/b) × (c/d) = (a × c)/(b × d).
La suite dans Réviz
4 autres questions, 4 autres flashcards, la carte mentale du chapitre, et ce qui coince qui revient au bon moment jusqu'au contrôle.
Ce que le programme attend
- Comparer et simplifier des fractions grâce à l'égalité a/b = (a × k)/(b × k)
- Additionner et soustraire des fractions de dénominateurs quelconques en les réduisant au même dénominateur
- Multiplier des fractions et prendre une fraction d'une quantité
- Déterminer l'inverse d'une fraction non nulle
- Diviser par une fraction en multipliant par son inverse
- Calculer avec des fractions et des nombres relatifs en respectant les priorités
- Résoudre des problèmes utilisant des fractions
Référence : Mathématiques cycle 4 (BO spécial n°11 du 26/11/2015, ajusté BO n°31 du 30/07/2020), repères annuels de progression 2019. Une erreur dans cette fiche ? Signale-la, elle sera corrigée.