Fiche de révision · Maths 4eTranslations et rotations
2e trimestre · chapitre 8 sur 14
Translations et rotations déplacent une figure sans la déformer : l'image est superposable à la figure de départ.
L'essentiel à retenir
- Translation : direction, sens et longueur.
- Rotation : centre, angle et sens.
- Symétrie centrale = rotation de 180°.
- Longueurs, angles, aires, alignement et parallélisme conservés.
- Rosace de n motifs : rotations de 360° ÷ n.
La leçon
1. La translation
La translation qui transforme A en B fait glisser chaque point dans la direction de (AB), de A vers B, sur la longueur AB. Si M' est l'image de M, alors ABM'M est un parallélogramme (éventuellement aplati). Pour une figure, on construit l'image de chaque sommet, puis on relie.
MM' = AB
Exemple
Pour placer M', on trace la parallèle à (AB) passant par M, puis on reporte au compas la longueur AB à partir de M, dans le sens de A vers B.
2. La rotation
La rotation de centre O, d'angle α, fait tourner chaque point M autour de O dans le sens indiqué : horaire (celui des aiguilles d'une montre) ou anti-horaire. L'image M' vérifie OM' = OM et l'angle MOM' = α. Le centre est le seul point qui ne bouge pas (sauf pour un angle de 0°).
OM' = OM et angle MOM' = α
Exemple
Rotation de centre O, d'angle 90°, sens anti-horaire : M' est sur le cercle de centre O passant par M, et l'angle MOM' est droit.
3. Frises, pavages et rosaces
Une frise répète un motif par translation dans une seule direction. Un pavage recouvre le plan sans trou ni chevauchement. Une rosace répète un motif par rotation autour d'un centre. On y repère aussi parfois des symétries.
Exemple
Une rosace à 6 motifs identiques est obtenue par des rotations de 360° ÷ 6 = 60°.
4. Ce que les transformations conservent
Symétries, translations et rotations conservent les longueurs, les mesures d'angles, les aires, l'alignement et le parallélisme. L'image d'une droite est une droite, celle d'un segment un segment de même longueur, celle d'un cercle un cercle de même rayon. Une translation conserve l'orientation de la figure ; une symétrie axiale la retourne.
Exemple
Par une rotation, un carré de côté 4 cm a pour image un carré de côté 4 cm et d'aire 16 cm².
5. Symétrie centrale et rotation
Une symétrie centrale de centre O est une rotation de centre O et d'angle 180°. Pour ce demi-tour, le sens n'a pas d'importance. M, O et M' sont alignés et O est le milieu de [MM'].
6. Avec un logiciel de géométrie dynamique
Dans un logiciel comme GeoGebra, on trace la figure, puis on utilise l'outil de translation ou de rotation : on sélectionne la figure, puis les éléments de la transformation (centre et angle pour une rotation). En déplaçant un point de la figure, on voit son image bouger ; les longueurs et les angles restent conservés.
La méthode
Comment construire l'image d'un point par une rotation
- Trace le segment [OM], qui relie le centre au point.
- Place le rapporteur en O et reporte l'angle α à partir de [OM], dans le sens indiqué ; trace la demi-droite.
- Au compas, reporte la longueur OM sur cette demi-droite : tu obtiens M'.
- Pour une figure, recommence avec chaque sommet, puis relie les images dans le même ordre.
Pièges à éviter
- Lis bien le sens de rotation : avec le même centre et le même angle, sens horaire et anti-horaire donnent deux images différentes (sauf pour 180°).
- Pour la translation qui transforme A en B, c'est ABM'M qui est un parallélogramme : M' se place du côté où l'on va de A vers B.
- Ne confonds pas frise et rosace : la frise répète un motif par translation, la rosace par rotation autour d'un centre.
Vocabulaire
- Image
- Point ou figure obtenu après une transformation.
- Translation
- Glissement selon une direction, un sens et une longueur.
- Rotation
- Transformation qui fait tourner une figure autour d'un centre.
- Centre de rotation
- Seul point qui ne bouge pas dans une rotation d'angle non nul.
- Pavage
- Recouvrement du plan par des motifs sans trou ni chevauchement.
- Rosace
- Figure obtenue en répétant un motif par rotation autour d'un centre.
Teste-toi
3 questions pour vérifier, corrigées tout de suite.
Flashcards
Essaie de répondre avant d'ouvrir la carte.
Que fait la translation qui transforme A en B ?
Elle fait glisser toute figure dans la direction de (AB), dans le sens de A vers B, sur la longueur AB.
Si M' est l'image de M par la translation qui transforme A en B, quelle figure forme ABM'M ?
Un parallélogramme, éventuellement aplati.
Quels éléments définissent une rotation ?
Un centre, un angle et un sens (horaire ou anti-horaire).
La suite dans Réviz
4 autres questions, 4 autres flashcards, la carte mentale du chapitre, et ce qui coince qui revient au bon moment jusqu'au contrôle.
Ce que le programme attend
- Construire l'image d'un point et d'une figure par une translation
- Construire l'image d'une figure par une rotation de centre et d'angle donnés (sens indiqué)
- Reconnaître une translation, une rotation ou une symétrie dans une frise, un pavage ou une rosace
- Connaître les propriétés de conservation des transformations (longueurs, angles, aires, alignement, parallélisme)
- Relier la symétrie centrale à une rotation d'angle 180°
- Utiliser un logiciel de géométrie dynamique pour construire des images
Référence : Mathématiques cycle 4 (BO spécial n°11 du 26/11/2015, ajusté BO n°31 du 30/07/2020), repères annuels de progression 2019. Une erreur dans cette fiche ? Signale-la, elle sera corrigée.