Fiche de révision · Maths 4eStatistiques : moyenne pondérée, médiane et étendue
2e trimestre · chapitre 10 sur 14
Une série statistique se résume par une valeur centrale, moyenne ou médiane, et par une mesure de dispersion, l'étendue.
L'essentiel à retenir
- Fréquence = effectif ÷ effectif total.
- Moyenne pondérée : chaque valeur compte selon son poids.
- Médiane : ranger la série d'abord.
- Étendue = max − min.
- Diagramme circulaire : angle = fréquence × 360°.
La leçon
1. Organiser les données
Une série statistique est un ensemble de données. L'effectif d'une valeur est le nombre de fois où elle apparaît ; l'effectif total est le nombre de données. On regroupe les valeurs et leurs effectifs dans un tableau.
Exemple
Notes : 12, 15, 12, 10, 15, 12. Tableau : 10 a pour effectif 1, 12 a pour effectif 3, 15 a pour effectif 2 ; effectif total : 6.
2. Fréquences et pourcentages
La fréquence d'une valeur est son effectif divisé par l'effectif total. Elle est comprise entre 0 et 1 et peut s'écrire en pourcentage. La somme des fréquences vaut 1, soit 100 %.
fréquence = effectif ÷ effectif total
Exemple
Dans la série ci-dessus, 12 apparaît 3 fois sur 6 : fréquence 3/6 = 0,5 = 50 %.
3. Moyenne et moyenne pondérée
La moyenne est la somme des valeurs divisée par l'effectif total. Quand les valeurs ont des effectifs ou des coefficients, on multiplie chaque valeur par son poids, on additionne, puis on divise par la somme des poids.
(v₁ × n₁ + v₂ × n₂ + …) ÷ (n₁ + n₂ + …)
Exemple
12, 8, 15, 9 : (12 + 8 + 15 + 9) ÷ 4 = 44 ÷ 4 = 11. Notes 12 (coef. 2) et 15 (coef. 1) : (12 × 2 + 15 × 1) ÷ 3 = 39 ÷ 3 = 13. 3 élèves ont 10, 5 ont 14, 2 ont 18 : (3 × 10 + 5 × 14 + 2 × 18) ÷ 10 = 136 ÷ 10 = 13,6.
4. La médiane
Dans la série rangée par ordre croissant, la médiane partage les valeurs en deux groupes de même effectif : au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales. Effectif impair : c'est la valeur du milieu. Effectif pair : on prend en général la moyenne des deux valeurs centrales. Elle est peu sensible aux valeurs extrêmes, contrairement à la moyenne.
Exemple
3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 20 : médiane 7 (3e valeur), alors que la moyenne vaut 8,8. 4 ; 6 ; 9 ; 11 ; 13 ; 15 : médiane (9 + 11) ÷ 2 = 10.
5. L'étendue
L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur. Elle mesure la dispersion : plus elle est grande, plus les valeurs sont éloignées les unes des autres. Deux séries de même moyenne peuvent avoir des étendues très différentes.
étendue = valeur max − valeur min
Exemple
3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 20 : étendue 20 − 3 = 17. Les séries 10 ; 10 ; 10 et 0 ; 10 ; 20 ont toutes deux pour moyenne 10, mais des étendues de 0 et de 20.
6. Diagrammes et tableur
On représente une série par un diagramme en bâtons, un histogramme ou un diagramme circulaire. Dans un diagramme circulaire, l'angle de chaque secteur est proportionnel à la fréquence. Un tableur calcule vite avec des formules comme =SOMME(A1:A10), =MOYENNE(A1:A10) ou =MAX(A1:A10)-MIN(A1:A10).
angle = fréquence × 360°
Exemple
Une valeur de fréquence 0,25 occupe un secteur de 0,25 × 360° = 90°.
La méthode
Comment déterminer la médiane d'une série
- Range toutes les valeurs dans l'ordre croissant, en répétant les valeurs qui apparaissent plusieurs fois.
- Compte l'effectif total N.
- Si N est impair, la médiane est la valeur de rang (N + 1) ÷ 2.
- Si N est pair, prends la moyenne des valeurs de rangs N ÷ 2 et N ÷ 2 + 1.
- Interprète : au moins la moitié des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane.
Pièges à éviter
- Range toujours la série avant de chercher la médiane : la valeur du milieu d'une liste en désordre ne veut rien dire.
- Pour une moyenne pondérée, divise par la somme des effectifs ou des coefficients, et non par le nombre de valeurs différentes : 136 ÷ 10, pas 136 ÷ 3.
- Ne confonds pas médiane et moyenne : 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 20 a pour médiane 7 mais pour moyenne 8,8.
Vocabulaire
- Effectif
- Nombre de fois où une valeur apparaît dans la série.
- Fréquence
- Effectif d'une valeur divisé par l'effectif total, entre 0 et 1.
- Moyenne pondérée
- Moyenne où chaque valeur est multipliée par son effectif ou son coefficient.
- Médiane
- Valeur qui partage la série rangée en deux groupes de même effectif.
- Étendue
- Écart entre la plus grande et la plus petite valeur.
Teste-toi
3 questions pour vérifier, corrigées tout de suite.
Flashcards
Essaie de répondre avant d'ouvrir la carte.
Comment calcule-t-on la fréquence d'une valeur ?
Effectif de la valeur divisé par l'effectif total. 6 sur 24 donne 0,25 = 25 %.
Comment calcule-t-on une moyenne pondérée ?
On multiplie chaque valeur par son effectif ou coefficient, on additionne, puis on divise par la somme des effectifs ou coefficients.
Qu'est-ce que la médiane d'une série ?
Une valeur qui partage la série rangée dans l'ordre croissant en deux groupes de même effectif.
La suite dans Réviz
4 autres questions, 4 autres flashcards, la carte mentale du chapitre, et ce qui coince qui revient au bon moment jusqu'au contrôle.
Ce que le programme attend
- Lire et organiser des données dans un tableau d'effectifs et de fréquences
- Calculer une fréquence et l'exprimer en pourcentage
- Calculer une moyenne simple et une moyenne pondérée par les effectifs ou des coefficients
- Déterminer une médiane d'une série ordonnée et l'interpréter
- Calculer l'étendue d'une série
- Lire et construire des diagrammes, utiliser un tableur
Référence : Mathématiques cycle 4 (BO spécial n°11 du 26/11/2015, ajusté BO n°31 du 30/07/2020), repères annuels de progression 2019. Une erreur dans cette fiche ? Signale-la, elle sera corrigée.