Fiche de révision · Maths 4eExpressions littérales et équations du premier degré
1er trimestre · chapitre 4 sur 14
Les lettres permettent d'écrire des calculs généraux et de résoudre des problèmes grâce aux équations.
L'essentiel à retenir
- 3 × x s'écrit 3x ; x × x s'écrit x².
- Réduire : regrouper les termes de même nature.
- Tester une égalité : calculer chaque membre.
- Même opération sur les deux membres.
- Toujours vérifier la solution.
La leçon
1. Les conventions d'écriture
Une expression littérale contient des lettres qui désignent des nombres. On supprime le signe × devant une lettre ou une parenthèse, et on n'écrit pas le 1 devant une lettre. On garde le signe × entre deux nombres.
Exemple
3 × x = 3x ; a × b = ab ; x × x = x² ; x × x × x = x³ ; 1x = x ; mais 3 × 5 reste 3 × 5.
2. Substituer : calculer la valeur d'une expression
Substituer, c'est remplacer la lettre par un nombre pour calculer. On remet les signes × sous-entendus et on place les nombres négatifs entre parenthèses. On respecte ensuite les priorités : puissances, puis multiplications, puis additions.
Exemple
Pour x = −2 : 3x² − 5x + 1 = 3 × (−2)² − 5 × (−2) + 1 = 12 + 10 + 1 = 23.
3. Réduire une expression
Réduire, c'est regrouper les termes de même nature : les termes en x², les termes en x et les nombres seuls. On additionne leurs coefficients. Des termes de nature différente ne se regroupent pas.
5x + 3 − 2x + 7 = 3x + 10
Exemple
4x² + 3x − x² = 3x² + 3x.
4. Tester une égalité, vérifier une solution
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. Pour la tester, on calcule séparément chaque membre. Un nombre est solution d'une équation si l'égalité est vraie quand on remplace l'inconnue par ce nombre.
Exemple
2x + 3 = 5x − 6. Pour x = 3 : 2 × 3 + 3 = 9 et 5 × 3 − 6 = 9, l'égalité est vraie : 3 est solution. Pour x = 0 : 3 et −6, elle est fausse.
5. Résoudre une équation
Résoudre, c'est trouver toutes les solutions. On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres pour regrouper les x d'un côté. On peut multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul pour isoler x.
ax = b donne x = b ÷ a
Exemple
5x − 4 = 2x + 11 ; 5x − 2x = 11 + 4 ; 3x = 15 ; x = 15 ÷ 3 = 5. Vérification : 5 × 5 − 4 = 21 et 2 × 5 + 11 = 21. Autre cas : 4x + 7 = 1 ; 4x = −6 ; x = −1,5.
6. Mettre un problème en équation
On choisit ce que représente x, on traduit l'énoncé par une égalité, on résout, on vérifie avec l'énoncé et on répond par une phrase. On vérifie aussi que la solution a du sens (un nombre de personnes est entier et positif, par exemple).
Exemple
Trois entiers consécutifs ont pour somme 81 : x + (x + 1) + (x + 2) = 81 ; 3x + 3 = 81 ; 3x = 78 ; x = 26. Les nombres sont 26, 27 et 28.
La méthode
Comment résoudre une équation du type ax + b = cx + d
- Regroupe les termes en x dans un membre en soustrayant le même terme en x aux deux membres.
- Regroupe les nombres dans l'autre membre en ajoutant ou soustrayant le même nombre aux deux membres.
- Divise les deux membres par le coefficient de x (qui doit être non nul).
- Vérifie en calculant chaque membre de l'équation de départ avec la valeur trouvée.
- Conclus par une phrase : « La solution est … ».
Pièges à éviter
- 3x + 2 ne se réduit pas en 5x, et x² + x ne vaut pas x³ : on ne regroupe que des termes de même nature.
- Fais toujours la même opération sur les deux membres : dans 5x − 4 = 2x + 11, on soustrait 2x des deux côtés, on n'écrit pas 5x + 2x.
- En substituant un nombre négatif, mets-le entre parenthèses : pour x = −2, x² = (−2)² = 4, et non −4.
Vocabulaire
- Expression littérale
- Calcul qui contient une ou plusieurs lettres désignant des nombres.
- Substituer
- Remplacer une lettre par un nombre pour calculer.
- Réduire
- Regrouper les termes de même nature pour écrire l'expression plus simplement.
- Équation
- Égalité contenant une inconnue.
- Solution
- Valeur de l'inconnue qui rend l'égalité vraie.
- Membre
- Chacune des deux expressions de part et d'autre du signe =.
Teste-toi
3 questions pour vérifier, corrigées tout de suite.
Flashcards
Essaie de répondre avant d'ouvrir la carte.
Comment écrit-on 3 × x et x × x en calcul littéral ?
3 × x s'écrit 3x et x × x s'écrit x².
Que veut dire substituer dans une expression ?
Remplacer la lettre par un nombre. Pour x = −2 : 3x + 1 = 3 × (−2) + 1 = −5.
Comment réduire 5x + 3 − 2x + 7 ?
On regroupe les termes de même nature : 3x + 10.
La suite dans Réviz
4 autres questions, 5 autres flashcards, la carte mentale du chapitre, et ce qui coince qui revient au bon moment jusqu'au contrôle.
Ce que le programme attend
- Utiliser les conventions d'écriture (signe × sous-entendu, a², a³)
- Calculer la valeur d'une expression littérale en remplaçant la lettre par un nombre (substitution)
- Réduire une somme algébrique en regroupant les termes de même nature
- Tester si une égalité est vraie pour une valeur donnée
- Vérifier si un nombre est solution d'une équation
- Résoudre une équation du premier degré du type ax + b = cx + d
- Mettre un problème en équation et interpréter la solution
Référence : Mathématiques cycle 4 (BO spécial n°11 du 26/11/2015, ajusté BO n°31 du 30/07/2020), repères annuels de progression 2019. Une erreur dans cette fiche ? Signale-la, elle sera corrigée.