Fiche de révision · Maths 4eProportionnalité : quatrième proportionnelle, graphiques et pourcentages
1er trimestre · chapitre 5 sur 14
Reconnaître la proportionnalité permet de calculer une valeur manquante, d'utiliser des pourcentages, des échelles et des vitesses.
L'essentiel à retenir
- Coefficient : on multiplie toujours par le même nombre.
- Produits en croix : a × d = b × c.
- Graphique : points alignés avec l'origine.
- t % d'une quantité : multiplier par t/100.
- d = v × t à vitesse constante.
La leçon
1. Reconnaître un tableau de proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre non nul, le coefficient de proportionnalité. Dans un tableau, on calcule chaque quotient (deuxième ligne ÷ première ligne) : s'ils sont tous égaux, il y a proportionnalité. Un seul quotient différent suffit pour dire non.
Exemple
Masses 2 kg, 5 kg, 8 kg ; prix 3 €, 7,50 €, 12 €. 3 ÷ 2 = 7,5 ÷ 5 = 12 ÷ 8 = 1,5 : proportionnalité, coefficient 1,5. Contre-exemple : la taille d'un enfant n'est pas proportionnelle à son âge.
2. Calculer une quatrième proportionnelle
Quand on connaît trois valeurs d'un tableau de proportionnalité, on calcule la quatrième avec l'égalité des produits en croix. On multiplie les deux nombres placés en diagonale, puis on divise par le troisième.
a/b = c/d ⟺ a × d = b × c
Exemple
3 kg coûtent 7,50 € ; combien de kg pour 12,50 € ? 3/7,5 = x/12,5, donc x = 3 × 12,5 ÷ 7,5 = 5 kg.
3. Proportionnalité et graphique
Une situation de proportionnalité est représentée par des points alignés avec l'origine du repère. Réciproquement, des points alignés avec l'origine traduisent une proportionnalité. Des points alignés sur une droite qui ne passe pas par l'origine ne traduisent pas une proportionnalité.
Exemple
Tarif « 10 € d'abonnement puis 2 € par entrée » : les points sont alignés, mais 0 entrée coûte 10 €. La droite ne passe pas par l'origine : le prix n'est pas proportionnel au nombre d'entrées.
4. Appliquer un pourcentage
Prendre t % d'une quantité, c'est la multiplier par t/100. Un pourcentage de répartition se calcule en divisant la partie par le total, puis en écrivant le résultat sur 100. Pour augmenter ou diminuer de t %, on calcule t % de la valeur, puis on l'ajoute ou on le retranche.
t % de A = A × t/100
Exemple
15 % de 80 € = 80 × 15/100 = 12 €. 12 élèves sur 30 font du sport : 12/30 = 0,4 = 40 %. Un prix de 50 € augmenté de 20 % : 50 + 10 = 60 € ; diminué de 10 % : 50 − 5 = 45 €.
5. Utiliser une échelle
Sur une carte ou un plan, les distances sont proportionnelles aux distances réelles. L'échelle est le quotient de la distance sur la carte par la distance réelle, exprimées dans la même unité.
échelle = distance sur la carte ÷ distance réelle
Exemple
À l'échelle 1/25 000, 4 cm sur la carte représentent 4 × 25 000 = 100 000 cm, soit 1 km.
6. Distance, vitesse et durée
À vitesse constante, la distance parcourue est proportionnelle à la durée ; le coefficient est la vitesse. On en tire v = d/t et t = d/v. La durée doit être écrite en heures décimales si la vitesse est en km/h.
d = v × t
Exemple
À 90 km/h pendant 2 h 30 min = 2,5 h, on parcourt 90 × 2,5 = 225 km.
La méthode
Comment calculer une valeur manquante
- Range les données dans un tableau à deux lignes, avec les mêmes unités sur chaque ligne.
- Vérifie que la situation est bien une situation de proportionnalité.
- Écris l'égalité des produits en croix avec x à la place de la valeur cherchée.
- Calcule x : produit des deux nombres en diagonale, divisé par le troisième.
- Réponds par une phrase, avec l'unité.
Pièges à éviter
- 2 h 30 min ne vaut pas 2,30 h : 30 min = 0,5 h, donc 2 h 30 min = 2,5 h.
- Des points alignés ne suffisent pas : pour qu'il y ait proportionnalité, la droite doit passer par l'origine du repère.
- Avec une échelle, convertis avant de conclure : 100 000 cm font 1 km, et non 100 km.
Vocabulaire
- Coefficient de proportionnalité
- Nombre par lequel on multiplie une grandeur pour obtenir l'autre.
- Quatrième proportionnelle
- Valeur manquante calculée à partir de trois valeurs d'un tableau de proportionnalité.
- Produits en croix
- Si a/b = c/d, alors a × d = b × c.
- Pourcentage
- Proportion exprimée sur 100 : t % signifie t pour 100.
- Échelle
- Rapport entre une distance sur le plan et la distance réelle, dans la même unité.
- Vitesse moyenne
- Distance parcourue divisée par la durée du trajet.
Teste-toi
3 questions pour vérifier, corrigées tout de suite.
Flashcards
Essaie de répondre avant d'ouvrir la carte.
Quand deux grandeurs sont-elles proportionnelles ?
Quand on obtient l'une en multipliant l'autre par un même nombre non nul, le coefficient de proportionnalité.
Comment vérifier qu'un tableau est un tableau de proportionnalité ?
On vérifie que tous les quotients (ligne 2 ÷ ligne 1) sont égaux.
Que dit l'égalité des produits en croix ?
a/b = c/d équivaut à a × d = b × c (b et d non nuls).
La suite dans Réviz
4 autres questions, 4 autres flashcards, la carte mentale du chapitre, et ce qui coince qui revient au bon moment jusqu'au contrôle.
Ce que le programme attend
- Reconnaître une situation de proportionnalité dans un tableau (égalité des quotients ou produits en croix)
- Calculer une quatrième proportionnelle par l'égalité des produits en croix
- Reconnaître graphiquement la proportionnalité : points alignés avec l'origine
- Appliquer un pourcentage et calculer un pourcentage de répartition
- Utiliser une échelle sur une carte ou un plan
- Utiliser la relation d = v × t pour un mouvement à vitesse constante
Référence : Mathématiques cycle 4 (BO spécial n°11 du 26/11/2015, ajusté BO n°31 du 30/07/2020), repères annuels de progression 2019. Une erreur dans cette fiche ? Signale-la, elle sera corrigée.