Fiche de révision · Maths 4ePuissances et notation scientifique
2e trimestre · chapitre 7 sur 14
Les puissances raccourcissent l'écriture des produits répétés et des très grands ou très petits nombres.
L'essentiel à retenir
- aⁿ : n facteurs égaux à a.
- Base négative, exposant pair : résultat positif.
- 10⁻ⁿ = 1/10ⁿ.
- Notation scientifique : a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10.
- 10ᵐ × 10ⁿ = 10ᵐ⁺ⁿ.
La leçon
1. La notation puissance
Pour un entier n ≥ 1, aⁿ est le produit de n facteurs égaux à a ; a est la base, n l'exposant. a² se lit « a au carré », a³ « a au cube ». Par convention, a¹ = a et a⁰ = 1 (a ≠ 0).
aⁿ = a × a × … × a (n facteurs)
Exemple
2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 ; 3² = 9 ; 4³ = 4 × 4 × 4 = 64.
2. Puissances d'un nombre négatif
Avec une base négative, le signe dépend de la parité de l'exposant. Exposant pair : résultat positif. Exposant impair : résultat négatif. Sans parenthèses, l'exposant ne porte que sur le nombre, pas sur le signe moins.
Exemple
(−2)⁴ = 16 ; (−2)³ = −8 ; mais −2⁴ = −16.
3. Les puissances de 10
10ⁿ s'écrit avec 1 suivi de n zéros, et 10⁻ⁿ = 1/10ⁿ s'écrit avec n chiffres après la virgule. Multiplier par 10ⁿ décale la virgule de n rangs vers la droite ; multiplier par 10⁻ⁿ la décale de n rangs vers la gauche. Pour multiplier, on additionne les exposants ; pour diviser, on les soustrait.
10ᵐ × 10ⁿ = 10ᵐ⁺ⁿ 10ᵐ / 10ⁿ = 10ᵐ⁻ⁿ (10ᵐ)ⁿ = 10ᵐˣⁿ
Exemple
10³ = 1 000 ; 10⁻³ = 0,001. 10⁴ × 10⁻⁶ = 10⁻² ; 10⁵ / 10² = 10³.
4. Les préfixes, de nano à giga
Les préfixes placés devant une unité indiquent une puissance de 10. Giga (G) = 10⁹, méga (M) = 10⁶, kilo (k) = 10³. Milli (m) = 10⁻³, micro (µ) = 10⁻⁶, nano (n) = 10⁻⁹.
Exemple
1 km = 10³ m ; 1 µm = 10⁻⁶ m ; 1 nm = 10⁻⁹ m.
5. La notation scientifique
Un nombre s'écrit a × 10ⁿ, où a a un seul chiffre non nul avant la virgule et n est un entier relatif. L'exposant est positif pour un grand nombre, négatif pour un nombre plus petit que 1.
a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10
Exemple
45 000 = 4,5 × 10⁴ ; 0,000 72 = 7,2 × 10⁻⁴ ; 38 × 10⁵ = 3,8 × 10⁶.
6. Ordres de grandeur et comparaisons
Les puissances de 10 donnent l'ordre de grandeur d'une quantité très grande ou très petite. Pour comparer deux nombres en notation scientifique, on compare d'abord les exposants, puis les nombres a si les exposants sont égaux.
Exemple
Distance Terre–Soleil : environ 1,5 × 10⁸ km ; taille d'une bactérie : de l'ordre de 10⁻⁶ m (1 µm). 2,1 × 10⁵ > 9,8 × 10⁴, car 5 > 4.
La méthode
Comment écrire un nombre en notation scientifique
- Place la virgule juste après le premier chiffre non nul : tu obtiens a, compris entre 1 et 10.
- Compte de combien de rangs la virgule s'est déplacée : c'est la valeur de l'exposant.
- Si le nombre de départ est supérieur ou égal à 10, l'exposant est positif ; s'il est inférieur à 1, il est négatif.
- Vérifie : 0,000 72 = 7,2 × 10⁻⁴ (virgule déplacée de 4 rangs, nombre plus petit que 1).
Pièges à éviter
- 2⁵ ne vaut pas 2 × 5 = 10 : c'est 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32.
- −2⁴ = −16 mais (−2)⁴ = 16 : sans parenthèses, l'exposant ne porte que sur 2.
- 45 × 10³ est égal à 45 000 mais n'est pas la notation scientifique : écris 4,5 × 10⁴, avec un seul chiffre non nul avant la virgule.
Vocabulaire
- Exposant
- Nombre écrit en haut à droite de la base ; pour n entier positif, il indique le nombre de facteurs égaux à la base.
- Base
- Dans aⁿ, le nombre a : c'est le facteur répété.
- Notation scientifique
- Écriture a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10.
- Ordre de grandeur
- Valeur approchée qui donne l'idée de la taille d'un nombre.
- Préfixe
- Élément d'une unité qui indique une puissance de 10, comme kilo ou nano.
Teste-toi
3 questions pour vérifier, corrigées tout de suite.
Flashcards
Essaie de répondre avant d'ouvrir la carte.
Que signifie 2⁵ ?
Le produit de 5 facteurs égaux à 2 : 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32.
Quel est le signe de (−2)⁴ et de (−2)³ ?
(−2)⁴ = 16 est positif (exposant pair) ; (−2)³ = −8 est négatif (exposant impair).
Combien vaut 10⁻³ ?
10⁻³ = 1/10³ = 0,001.
La suite dans Réviz
4 autres questions, 4 autres flashcards, la carte mentale du chapitre, et ce qui coince qui revient au bon moment jusqu'au contrôle.
Ce que le programme attend
- Comprendre la notation aⁿ (n entier positif) comme produit de n facteurs égaux à a
- Calculer des puissances de nombres relatifs en maîtrisant le signe
- Connaître les puissances de 10 à exposant positif et négatif
- Utiliser les préfixes de nano à giga
- Écrire un nombre en notation scientifique
- Comparer et calculer des ordres de grandeur avec des puissances de 10
Référence : Mathématiques cycle 4 (BO spécial n°11 du 26/11/2015, ajusté BO n°31 du 30/07/2020), repères annuels de progression 2019. Une erreur dans cette fiche ? Signale-la, elle sera corrigée.