Fiche de révision · Maths 4eDévelopper, factoriser et réduire
2e trimestre · chapitre 9 sur 14
La distributivité sert dans les deux sens : développer pour obtenir une somme, factoriser pour obtenir un produit.
L'essentiel à retenir
- k(a + b) = ka + kb et k(a − b) = ka − kb.
- Développer : produit vers somme.
- Factoriser : somme vers produit.
- Moins devant parenthèse : changer les signes.
La leçon
1. Développer avec la distributivité
Développer, c'est transformer un produit en somme. On multiplie le facteur placé devant la parenthèse par chaque terme de la parenthèse, en respectant la règle des signes.
k(a + b) = ka + kb et k(a − b) = ka − kb
Exemple
3(x + 5) = 3x + 15 ; −2(4x − 3) = −8x + 6.
2. Factoriser
Factoriser, c'est transformer une somme en produit. On repère un facteur commun à tous les termes, on le place devant, et on écrit entre parenthèses ce qui reste. On vérifie en redéveloppant.
ka + kb = k(a + b)
Exemple
6x + 12 = 6(x + 2) ; 5x² − 3x = x(5x − 3) ; 7a − 7 = 7(a − 1).
3. Réduire après un développement
Après avoir développé, on regroupe les termes de même nature : les termes en x d'un côté, les nombres de l'autre. On obtient l'expression la plus courte possible.
Exemple
2(3x + 1) + 4(x − 2) = 6x + 2 + 4x − 8 = 10x − 6.
4. Supprimer des parenthèses
Précédées de +, les parenthèses disparaissent sans rien changer. Précédées de −, elles disparaissent en changeant chaque terme en son opposé.
a + (b − c) = a + b − c et a − (b − c) = a − b + c
Exemple
5x − (2x − 3) = 5x − 2x + 3 = 3x + 3.
5. Prouver une propriété générale
Des exemples ne suffisent pas à prouver qu'une propriété est toujours vraie. Avec une lettre, le calcul vaut pour tous les nombres à la fois. On développe, on réduit, puis on factorise pour faire apparaître la propriété.
Exemple
Trois entiers consécutifs n, n + 1 et n + 2 ont pour somme 3n + 3 = 3(n + 1) : c'est toujours un multiple de 3.
6. La distributivité en calcul mental
On décompose un facteur en une somme ou une différence simple, comme 100 + 1 ou 100 − 2. On peut aussi factoriser pour faire apparaître un calcul facile.
Exemple
23 × 101 = 23 × 100 + 23 × 1 = 2 323 ; 15 × 98 = 15 × 100 − 15 × 2 = 1 470 ; 37 × 8 + 37 × 2 = 37 × (8 + 2) = 370.
La méthode
Comment développer et réduire une expression
- Repère chaque facteur placé devant une parenthèse, avec son signe.
- Multiplie ce facteur par chaque terme de la parenthèse, en appliquant la règle des signes.
- Supprime les parenthèses restantes : précédées de −, change le signe de chaque terme.
- Regroupe les termes de même nature.
- Vérifie en remplaçant x par une même valeur, par exemple 2, dans l'expression de départ et dans le résultat.
Pièges à éviter
- 3(x + 5) ne vaut pas 3x + 5 : multiplie chaque terme de la parenthèse, donc 3x + 15.
- Un moins devant une parenthèse change le signe de tous les termes, pas seulement du premier : −(2x − 3) = −2x + 3.
- Pour tester un calcul, évite x = 1 (car alors x² = x) et prends plutôt 2 ou 3 ; un test peut révéler une erreur, mais il ne prouve pas l'égalité.
Vocabulaire
- Distributivité
- Propriété k(a + b) = ka + kb.
- Développer
- Écrire un produit sous forme de somme.
- Factoriser
- Écrire une somme sous forme de produit.
- Réduire
- Regrouper les termes de même nature pour simplifier une expression.
- Facteur commun
- Nombre ou lettre présent dans chaque terme d'une somme.
Teste-toi
3 questions pour vérifier, corrigées tout de suite.
Flashcards
Essaie de répondre avant d'ouvrir la carte.
Que dit la distributivité simple ?
k(a + b) = ka + kb et k(a − b) = ka − kb.
Que signifie développer ?
Transformer un produit en somme. Exemple : 3(x + 5) = 3x + 15.
Que signifie factoriser ?
Transformer une somme en produit grâce à un facteur commun. Exemple : 6x + 12 = 6(x + 2).
La suite dans Réviz
4 autres questions, 4 autres flashcards, la carte mentale du chapitre, et ce qui coince qui revient au bon moment jusqu'au contrôle.
Ce que le programme attend
- Utiliser la distributivité simple pour développer k(a + b) et k(a − b)
- Factoriser une expression en mettant en évidence un facteur commun
- Réduire une expression après développement
- Supprimer des parenthèses précédées d'un signe + ou −
- Utiliser le calcul littéral pour prouver une propriété générale
- Utiliser la distributivité pour le calcul mental
Référence : Mathématiques cycle 4 (BO spécial n°11 du 26/11/2015, ajusté BO n°31 du 30/07/2020), repères annuels de progression 2019. Une erreur dans cette fiche ? Signale-la, elle sera corrigée.