Fiche de révision · Maths 4ePyramides et cônes : représentations et volumes
3e trimestre · chapitre 11 sur 14
Pyramides et cônes sont des solides pointus dont le volume vaut le tiers de celui du prisme ou du cylindre de même base et même hauteur.
L'essentiel à retenir
- Pyramide : base polygone, faces triangles.
- Cône : base disque.
- V = aire de base × hauteur ÷ 3.
- 1 dm³ = 1 L ; 1 cm³ = 1 mL.
- Hauteur perpendiculaire à la base.
La leçon
1. Pyramide et cône de révolution
Une pyramide a pour base un polygone et pour faces latérales des triangles qui ont un sommet commun, le sommet de la pyramide. Sa hauteur est le segment issu du sommet et perpendiculaire à la base. Une pyramide régulière a pour base un polygone régulier et pour faces latérales des triangles isocèles superposables. Un cône de révolution est obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour d'un côté de l'angle droit ; sa base est un disque.
Exemple
Une pyramide à base carrée a 5 faces (1 carré + 4 triangles), 8 arêtes et 5 sommets.
2. Représenter en perspective cavalière
Les faces placées de face sont dessinées en vraie grandeur. Les arêtes cachées sont en pointillés. Les arêtes parallèles restent parallèles sur le dessin.
Exemple
Pour un cône, la base (un disque) se dessine comme un ovale, et la partie cachée de son bord est en pointillés.
3. Les patrons
Le patron d'une pyramide est formé de sa base et de ses faces latérales triangulaires, souvent chacune accrochée à un côté de la base. Le patron d'un cône est formé d'un disque (la base) et d'une portion de disque (la face latérale). La longueur de l'arc de cette portion est égale au périmètre du disque de base.
Exemple
Patron d'une pyramide régulière à base carrée : un carré et 4 triangles isocèles superposables, un sur chaque côté du carré.
4. Calculer un volume
On calcule l'aire de la base, on la multiplie par la hauteur, puis on divise par 3. Pour un cône, l'aire de la base est celle d'un disque : π × r². Une pyramide a un volume trois fois plus petit que le prisme de même base et de même hauteur ; un cône, trois fois plus petit que le cylindre correspondant.
V = (aire de la base × h) / 3
Exemple
Pyramide à base carrée de côté 6 cm et de hauteur 5 cm : V = (6 × 6 × 5) / 3 = 60 cm³. Cône avec r = 3 cm et h = 10 cm : V = (π × 9 × 10) / 3 = 30π ≈ 94,2 cm³.
5. Unités de volume et de contenance
Chaque unité de volume vaut 1 000 fois l'unité suivante : on décale la virgule de 3 rangs par unité. Pour les liquides, 1 dm³ correspond à 1 L et 1 cm³ à 1 mL.
1 m³ = 1 000 dm³ 1 dm³ = 1 000 cm³ 1 dm³ = 1 L 1 cm³ = 1 mL
Exemple
Un récipient en forme de pyramide de 60 cm³ contient 60 mL. 2,5 m³ = 2 500 dm³ = 2 500 L.
6. Se repérer dans un pavé droit
On choisit une origine, en général un sommet du pavé, et trois axes le long des arêtes qui en partent. Un point est alors repéré par trois nombres : son abscisse, son ordonnée et son altitude.
Exemple
Pavé de longueur 4, largeur 3 et hauteur 2, d'origine le sommet O : le sommet opposé à O a pour coordonnées (4 ; 3 ; 2).
La méthode
Comment calculer le volume d'une pyramide ou d'un cône
- Repère la base et calcule son aire (pour un cône : π × r², avec le rayon).
- Repère la hauteur : issue du sommet et perpendiculaire à la base.
- Multiplie l'aire de la base par la hauteur, puis divise par 3.
- Écris l'unité au cube (cm³, m³…) et convertis en litres si on te le demande.
Pièges à éviter
- N'oublie pas de diviser par 3 : sans cela, tu calcules le volume du prisme ou du cylindre.
- La hauteur n'est ni une arête ni l'apothème (hauteur d'une face) : c'est la distance du sommet à la base, perpendiculairement à elle.
- Dans π × r², r est le rayon : si l'énoncé donne le diamètre, divise-le par 2 avant de l'élever au carré.
Vocabulaire
- Pyramide
- Solide à base polygonale dont les faces latérales sont des triangles de sommet commun.
- Cône de révolution
- Solide obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour d'un côté de l'angle droit.
- Hauteur
- Distance du sommet à la base, mesurée perpendiculairement à la base.
- Apothème
- Hauteur d'une face latérale d'une pyramide régulière, issue du sommet.
- Patron
- Figure plane qui, une fois pliée, forme le solide.
Teste-toi
3 questions pour vérifier, corrigées tout de suite.
Flashcards
Essaie de répondre avant d'ouvrir la carte.
Qu'est-ce qu'une pyramide ?
Un solide dont la base est un polygone et dont les faces latérales sont des triangles qui ont un sommet commun.
Qu'est-ce que la hauteur d'une pyramide ?
Le segment issu du sommet et perpendiculaire à la base, ou sa longueur.
Comment obtient-on un cône de révolution ?
En faisant tourner un triangle rectangle autour d'un des côtés de l'angle droit.
La suite dans Réviz
4 autres questions, 5 autres flashcards, la carte mentale du chapitre, et ce qui coince qui revient au bon moment jusqu'au contrôle.
Ce que le programme attend
- Reconnaître et nommer une pyramide et un cône de révolution (sommet, base, hauteur, faces, arêtes)
- Représenter une pyramide ou un cône en perspective cavalière
- Construire ou reconnaître un patron de pyramide et de cône
- Calculer le volume d'une pyramide et d'un cône
- Convertir des unités de volume et de contenance
- Se repérer dans un pavé droit (abscisse, ordonnée, altitude)
Référence : Mathématiques cycle 4 (BO spécial n°11 du 26/11/2015, ajusté BO n°31 du 30/07/2020), repères annuels de progression 2019. Une erreur dans cette fiche ? Signale-la, elle sera corrigée.