Fiche de révision · Maths 4eRacine carrée et théorème de Pythagore
1er trimestre · chapitre 3 sur 14
Le théorème de Pythagore relie les trois côtés d'un triangle rectangle et s'utilise avec la racine carrée pour calculer une longueur.
L'essentiel à retenir
- √a est le nombre positif dont le carré vaut a.
- L'hypoténuse est opposée à l'angle droit.
- Théorème : calculer une longueur.
- Réciproque : prouver un angle droit.
- Contraposée : prouver l'absence d'angle droit.
La leçon
1. La racine carrée
Pour a positif, √a est le nombre positif dont le carré vaut a. Les carrés parfaits ont une racine entière. Un nombre négatif n'a pas de racine carrée.
(√a)² = a
Exemple
Carrés parfaits à connaître : √1 = 1, √4 = 2, √9 = 3, √16 = 4, √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7, √64 = 8, √81 = 9, √100 = 10, √144 = 12.
2. Valeur exacte et valeur approchée
Quand a n'est pas un carré parfait, √a n'est pas entier. La valeur exacte s'écrit √a. La calculatrice (touche √) donne une valeur approchée, que l'on arrondit à la précision demandée.
Exemple
Valeur exacte : √50. Valeur approchée au centième : √50 ≈ 7,07.
3. L'hypoténuse et le théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit ; c'est le plus long côté. Le théorème dit : si un triangle est rectangle, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. On ne l'utilise que si l'on sait déjà que le triangle est rectangle.
BC² = AB² + AC²
4. Calculer une longueur
Pour trouver l'hypoténuse, on additionne les carrés des deux autres côtés. Pour trouver un côté de l'angle droit, on soustrait : carré de l'hypoténuse moins carré du côté connu. On termine par une racine carrée ; si le résultat n'est pas un carré parfait, on donne la valeur exacte puis une valeur approchée.
Exemple
ABC rectangle en A, AB = 3 cm, AC = 4 cm : BC² = 9 + 16 = 25, donc BC = 5 cm. Si BC = 13 cm et AB = 5 cm : AC² = 169 − 25 = 144, donc AC = 12 cm. Si AB = 2 et AC = 3 : BC = √13 ≈ 3,6.
5. Réciproque et contraposée
On calcule séparément le carré du plus grand côté et la somme des carrés des deux autres. S'ils sont égaux, le triangle est rectangle (réciproque), et l'angle droit est opposé au plus grand côté. Sinon, il n'est pas rectangle (contraposée).
Exemple
DE = 6, EF = 8, DF = 10 : DF² = 100 et DE² + EF² = 36 + 64 = 100, donc DEF est rectangle en E. Côtés 4, 5, 6 : 6² = 36 et 4² + 5² = 16 + 25 = 41 ; 36 ≠ 41, donc le triangle n'est pas rectangle.
6. Rédiger une démonstration
Une démonstration a trois temps : les données de l'énoncé, la propriété utilisée, la conclusion. On cite le bon énoncé : le théorème pour calculer, la réciproque pour prouver un angle droit, la contraposée pour prouver qu'il n'y en a pas.
Exemple
« Le triangle ABC est rectangle en A. D'après le théorème de Pythagore, BC² = AB² + AC². »
La méthode
Comment savoir si un triangle est rectangle
- Repère le plus grand côté du triangle.
- Calcule le carré de ce plus grand côté.
- Calcule séparément la somme des carrés des deux autres côtés.
- Compare : égalité, le triangle est rectangle (réciproque) ; pas d'égalité, il ne l'est pas (contraposée).
- Rédige : données, propriété utilisée, conclusion, en nommant le sommet de l'angle droit.
Pièges à éviter
- L'hypoténuse doit être seule de son côté de l'égalité : repère d'abord l'angle droit, puis le côté opposé.
- Pour un côté de l'angle droit, on soustrait : si tu additionnes, tu trouves une longueur plus grande que l'hypoténuse, ce qui est impossible.
- √(9 + 16) n'est pas égal à √9 + √16 : calcule d'abord la somme (25), puis la racine (5), et non 3 + 4 = 7.
Vocabulaire
- Racine carrée
- Nombre positif dont le carré est égal au nombre donné.
- Carré parfait
- Carré d'un nombre entier, comme 1, 4, 9, 16 ou 25.
- Hypoténuse
- Côté opposé à l'angle droit, le plus long du triangle rectangle.
- Réciproque
- Énoncé qui échange l'hypothèse et la conclusion d'un théorème.
- Contraposée
- Si la conclusion est fausse, l'hypothèse l'est aussi.
Teste-toi
3 questions pour vérifier, corrigées tout de suite.
Flashcards
Essaie de répondre avant d'ouvrir la carte.
Qu'est-ce que la racine carrée d'un nombre positif a ?
Le nombre positif √a dont le carré vaut a. Exemple : √49 = 7 car 7² = 49.
Qu'est-ce que l'hypoténuse d'un triangle rectangle ?
Le côté opposé à l'angle droit ; c'est le plus long côté.
Que dit le théorème de Pythagore pour ABC rectangle en A ?
BC² = AB² + AC².
La suite dans Réviz
4 autres questions, 5 autres flashcards, la carte mentale du chapitre, et ce qui coince qui revient au bon moment jusqu'au contrôle.
Ce que le programme attend
- Connaître la définition de la racine carrée d'un nombre positif et les carrés parfaits usuels
- Utiliser la calculatrice pour obtenir une valeur exacte ou une valeur approchée d'une racine carrée
- Reconnaître l'hypoténuse d'un triangle rectangle
- Calculer une longueur dans un triangle rectangle avec le théorème de Pythagore
- Démontrer qu'un triangle est rectangle avec la réciproque du théorème de Pythagore
- Démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle avec la contraposée
- Rédiger une démonstration : données, propriété utilisée, conclusion
Référence : Mathématiques cycle 4 (BO spécial n°11 du 26/11/2015, ajusté BO n°31 du 30/07/2020), repères annuels de progression 2019. Une erreur dans cette fiche ? Signale-la, elle sera corrigée.